【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E在BC的延長線上,且CE=BC,AE=AB,AE、DC相交于點O,連接DE.

(1)求證:四邊形ACED是矩形;
(2)若∠AOD=120°,AC=4,求對角線CD的長.

【答案】
(1)

證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC,AD=BC,AB=DC,

∵CE=BC,

∴AD=CE,AD∥CE,

∴四邊形ACED是平行四邊形,

∵AB=DC,AE=AB,

∴AE=DC,

∴四邊形ACED是矩形


(2)

解:∵四邊形ACED是矩形,

∴OA= AE,OC= CD,AE=CD,

∴OA=OC,

∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°,

∴△AOC是等邊三角形,

∴OC=AC=4,

∴CD=8.


【解析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC,AD=BC,AB=DC,求出AD=CE,AD∥CE,AE=DC,根據(jù)矩形的判定得出即可;(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA= AE,OC= CD,AE=CD,求出OA=OC,求出△AOC是等邊三角形,即可得出答案.
【考點精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形;有三個角是直角的四邊形是矩形;兩條對角線相等的平行四邊形是矩形.

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變式(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖2,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計算.

變式(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖3,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.

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:因為ADBC(已知),

所以∠1=3(___________).

因為∠1=2(已知),

所以∠2=3.

所以BE___________ (___________).

所以∠3+4=180°(___________).

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