Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸正半軸與y軸正半軸上，線段OA，OB（OA＜OB）的長是方程x（x-4）+8（4-x）=0的兩個根，作線段AB的垂直平分線交y軸于點D，交AB于點C．
（1）求線段AB的長；
（2）求tan∠DAO的值；
（3）若把△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90），點D，C的對應點分別為D₁，C₁，得到△AD₁C₁，當AC₁∥y軸時，分別求出點C₁，點D₁的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)方程的解求得線段OA，OB的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到AD=BD，再根據(jù)Rt△AOD中的勾股定理，求得OD的長，并計算tan∠DAO的值；
（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求得AC₁和C₁D₁的長，再根據(jù)OA=4，AC₁∥y軸，求得點C₁和點D₁的坐標．

解答 解：（1）由方程x（x-4）+8（4-x）=0，解得
x₁=4，x₂=8，
即OA=4，OB=8，
∴由勾股定理可得AB=$4\sqrt{5}$

（2）∵CD為AB的垂直平分線，
∴AD=BD
∵在Rt△AOD中，OD²+OA²=AD²
即OD²+4²=（8-OD）²，
∴OD=3
∴$tan∠OAD=\frac{3}{4}$

（3）由旋轉(zhuǎn)可得，AC₁=AC=2$\sqrt{5}$，C₁D₁=CD=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$
又∵OA=4，AC₁∥y軸
∴C₁（4，$2\sqrt{5}$），D₁（$4-\sqrt{5}$，$2\sqrt{5}$）

點評 本題主要考查了幾何變換中的旋轉(zhuǎn)變換，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．在圖形旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，即對應邊相等，對應角也相等．