Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)F，將線(xiàn)段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段AG，連接EG，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)H，連接AH．

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷AH與EG的位置關(guān)系，并證明；

（3）若AB=2，設(shè)BE=x，BH=y，直接寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析；（2）AH垂直平分EG，證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義、線(xiàn)段的畫(huà)法補(bǔ)全圖形即可；

（2）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差得出，，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，從而可得點(diǎn)共線(xiàn)，又根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一即可得；

（3）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線(xiàn)段的和差即可得出結(jié)論．

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義、線(xiàn)段的畫(huà)法補(bǔ)全圖形如下：

（2）AH垂直平分EG，證明如下：

如圖，連接DG

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，

四邊形ABCD是正方形

，，

在和中，

點(diǎn)共線(xiàn)

過(guò)點(diǎn)E作，交BD于點(diǎn)M

，

是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)

是等腰直角三角形，且

在和中，

，即點(diǎn)H為EG的中點(diǎn)

是等腰三角形

（等腰三角形的三線(xiàn)合一）

綜上，AH垂直平分EG；

（3）由正方形的性質(zhì)得：

由（2）可知，是等腰直角三角形，且

又由（2）可知，

即．