Question

如圖，拋物線y＝(x＋1)²＋k 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C (0，－3)．

 

 

（1）求拋物線的對稱軸及k的值；

（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA＋PC的值最小，求此時點P的坐標(biāo)；

（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限．當(dāng)M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；

（4）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）x＝－1，k＝－4（2）P (－1，－2) （3）當(dāng)x＝－ 時，S最大，最大值為（4）（4）存在，點F的坐標(biāo)為（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）

【解析】（1）拋物線的對稱軸為直線x＝－1，………………………………1分

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)²＋k得

－3＝1＋k  ∴k＝－4…………………………………………3分

（2）連結(jié)AC，交對稱軸于點P

        ∵y＝(x＋1)²－4   令y＝0   可得(x＋1)²－4＝0

∴x₁＝1   x₂＝－3

∴A (－3，0)   B (1，0)…………………………………………5分

設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y＝m x＋b

把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得b＝－3，m＝－1

∴直線AC的關(guān)系式為y＝－x－3……………………………………6分

當(dāng)x＝－1時，y＝1－3＝－2

∴P (－1，－2)…………………………………………………………7分

（3）過M作x軸的垂線交于點E，連接OM，設(shè)M點坐標(biāo)為（x，(x＋1)²－4）

S_{四邊形AMCB}＝S_△AMO＋S_△CMO＋S_△CBO＝×AB×|y_m|＋×CO×|x_m|＋×OC×BO

＝6－ (x＋1)²＋×3×(－x)＋×3×1

＝－x²－ x＋6＝－（x²＋3x－9）＝－（x＋）²+……9分

當(dāng)x＝－ 時，S最大，最大值為………………………………10分

（4）存在，點F的坐標(biāo)為（3,12）、（-5,12）、（-1，-4）…………12分

 (1)根據(jù)拋物線的圖象性質(zhì)得出對稱軸，把C點坐標(biāo)代入拋物線函數(shù)中得出k值；

（2）先求出AC直線的解析式，然后求它與拋物線的對稱軸的交點即是PA+PC最小值時的P點坐標(biāo)；

（3）利用S_{四邊形AMCB}＝S_△AMO＋S_△CMO＋S_△CBO列出一拋物線的解析式，然后利用拋物線的圖象性質(zhì)得出AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；

（4）分三種情況討論得出結(jié)論。