Question

【題目】如圖，在正方形ABCD和正方形AEFG中，邊AE在邊AB上，AB=，AE=1．將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉，設BE的延長線交直線DG于點P，當點P，G第一次重合時停止旋轉．在這個過程中：

（1）∠BPD=______度；

（2）點P所經(jīng)過的路徑長為______．

Answer 1

【答案】90.

【解析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)證△EAB≌△GAD（SAS），得∠ABE=∠ADG，由∠ABE+∠AOB=90°，∠AOB=∠DOP，得∠DOP+∠ADG=90°；（2）當P、G重合時，作AH⊥BG于H．點P經(jīng)過路徑是圖中弧AG．根據(jù)三角函數(shù)知識，求出∠ABH=30°，∠AOG=2∠ABG=60°，的長=.

解：（1）如圖1中，設AD交PB于點O．

∵四邊形ABCD，四邊形AEFG都是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠GAE，

∴∠EAB=∠GAD，

∴△EAB≌△GAD（SAS），

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠ABE+∠AOB=90°，∠AOB=∠DOP，

∴∠DOP+∠ADG=90°，

∴∠BPD=90°．

故答案為90．

（2）如圖2中，當P、G重合時，作AH⊥BG于H．

∵∠BPD=90°，

∴點P經(jīng)過路徑是圖中弧AG．

∵AE=AG=1，∠EAG=90°，

∴EG=，

∵AH⊥EG，

∴HG=HE，

∴AH=，

∴sin∠ABH=，

∴∠ABH=30°，

∴∠AOG=2∠ABG=60°，

∴的長=．

故答案為．