Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形ABCD，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E落在DC邊上時(shí)，直寫(xiě)出線段EC的長(zhǎng)度為　 　；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在線段CF上時(shí)，AE與DC相交于點(diǎn)H，連接AC，

①求證：△ACD≌△CAE；

②直接寫(xiě)出線段DH的長(zhǎng)度為　　 ．

（3）如圖③設(shè)點(diǎn)P為邊FG的中點(diǎn)，連接PB，PE，在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△BEP的面積是否存在最大值？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)最大值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①證明見(jiàn)解析，②；（3）存在，.

【解析】

(1)根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)度，即可求解.

（2）①根據(jù)HL即可判定三角形全等.

②設(shè) 在Rt△ADH中根據(jù)勾股定理即可求解.

（3）如圖③中，連接PA，作BM⊥PE交PE的延長(zhǎng)線于M．根據(jù)題意可得：PF＝PG=，

則PA＝PE＝，S△PBE＝PEBM＝BM，當(dāng)BM的值最大時(shí)，△PBE的面積最大，求出BM的最大值即可.

(1)

故答案為：

(2) ①證明：如圖②中，

∵當(dāng)點(diǎn)E落在線段CF上，

∴∠AEC＝∠ADC＝90°，

在Rt△ADC和Rt△AEC中，

∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；

②

（3）存在．

理由：如圖③中，連接PA，作BM⊥PE交PE的延長(zhǎng)線于M．

由題意：PF＝PG=，

∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，

∴S△PBE＝PEBM＝BM，

∴當(dāng)BM的值最大時(shí)，△PBE的面積最大，

∵BM≤PB，PB≤AB+PA，

∴PB≤3+img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/06/09/06/2d6c918a/SYS202006090604111882361116_DA/SYS202006090604111882361116_DA.007.png" width="9" height="33" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />=，∴BM≤，∴BM的最大值為，此時(shí)點(diǎn)B、A、P三點(diǎn)共線，

∴△PBE的面積的最大值為．