【題目】在同一直角坐標系中,拋物線C12與拋物線C22關(guān)于軸對稱,C2軸交于A、B兩點,其中點A在點B的左側(cè)交y軸于點D

1)求AB兩點的坐標;

2)對于拋物線C22在第三象限部分的一點P,作PF軸于F,交AD于點E,若E關(guān)于PD的對稱點E′恰好落在軸上,求P點坐標;

3)在拋物線C1上是否存在一點G,在拋物線C2上是否存在一點Q,使得以AB、G、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出G、Q兩點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1A(3,0)B(1,0);(2,;(3)存在滿足條件的點GQ,其坐標為G(2,5)Q(2,5)G(2,﹣3),Q(2,﹣3)G(,﹣2),Q(22)G(,2),Q(2+,﹣2)

【解析】

1)由對稱可求得的值,則可求得兩函數(shù)的對稱軸,可求得的值,則可求得兩拋物線的函數(shù)表達式;由C2的函數(shù)表達式可求得AB的坐標;

2)可判定四邊形PEDE′是菱形,然后根據(jù)PEDE的條件,列出方程求解;

3)由題意可知AB可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷,利用平行四邊形的性質(zhì),可設(shè)出G點坐標和Q點坐標,代入C2的函數(shù)表達式可求得G、Q的坐標.

1∵C1、C2關(guān)于y軸對稱,

∴C1C2的交點一定在軸上,且C1C2的形狀、大小均相同,

1,=﹣3,

∴C1的對稱軸為1,

∴C2的對稱軸為,

2,

∴C1的函數(shù)表示式為2,C2的函數(shù)表達式為2;

C2的函數(shù)表達式為2中,令0可得2,

解得,

∴A(3,0)B(1,0)

2E、E′關(guān)于直線PD對稱,

∴∠EPD∠E′PD,DEDE′,PEPE′

∵PE平行于y軸,∴∠EPD∠PDE′

∴∠E′PD∠PDE′,

∴PE′DE′,

∴PEDEPE′DE′

即四邊形PEDE′是菱形.

當四邊形PEDE′是菱形存在時,由直線AD解析式∠ADO45°,

設(shè)P(,2),E(,),

∴DE=﹣,PE=﹣32+3=﹣23

23,解得a10(舍去),a2,

∴P()

3)存在.

∵AB的中點為(1,0),且點G在拋物線C1上,點Q在拋物線C2上,

AB為平行四邊形的一邊時,

∴GQABGQAB

由(2)可知AB1(3)4,

∴GQ4

設(shè)G(t,t22t3),則Q(t+4,t2t3)(t4,t22t3)

Q(t+4,t2+2t3)時,則t22t3(t+4)2+2(t+4)3,

解得t=﹣2,

∴t22t34+435,

∴G(2,5)Q(2,5)

Q(t4,t22t3)時,則t22t3(t4)2+2(t4)3,

解得t2,

∴t22t3443=﹣3

∴G(2,﹣3),Q(2,﹣3),

AB為平行四邊形的對角線時,設(shè)G(m,m22m3),Q(n,n2+2n3),

解得m,n=﹣2m=﹣,n=﹣2+

∴G(,﹣2),Q(2,2)G(,2),Q(2+,﹣2)

綜上可知,存在滿足條件的點G、Q,其坐標為G(2,5),Q(2,5)G(2,﹣3),Q(2,﹣3)G(,﹣2),Q(2,2)G(,2),Q(2+,﹣2)

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(提出問題)

1)如圖1,在等邊中,點上的任意一點(不含端點、),連結(jié),以為邊作等邊,連結(jié).求證:

(類比探究)

2)如圖2,在等邊中,點延長線上的任意一點(不含端點),其它條件不變,(1)中結(jié)論還成立嗎?請說明理由.

(拓展延伸)

3)如圖3,在等腰中,,點上的任意一點(不含端點、)連結(jié),以為邊作等腰,使頂角.連結(jié).試探究的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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其中正確的結(jié)論有______(填序號).

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