Question

如圖所示，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，在⊙O₁中，△ABC為正三角形，在⊙O₂中四邊形ABDE為正方形，若O₁A=2，則O₂A=

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),正多邊形和圓,特殊角的三角函數(shù)值

專題：計算題

分析：連接O₁B、O₂B，易證△AO₁O₂≌△BO₁O₂，則有∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，∠AO₂O₁=∠BO₂O₁．從而得到O₁O₂⊥AB，∠AO₁O₂=60°，∠AO₂O₁=45°，然后利用三角函數(shù)就可解決問題．

解答：解：連接O₁B、O₂B，如圖所示，
由題可得：∠AO₁B=

360°

3

=120°，∠AO₂B=

360°

4

=90°．
在△AO₁O₂和△BO₁O₂中，

O1A=O1B O2A=O2B O1O2=O1O2

．
∴△AO₁O₂≌△BO₁O₂．
∴∠AO₁O₂=∠BO₁O₂，∠AO₂O₁=∠BO₂O₁．
∴O₁O₂⊥AB，∠AO₁O₂=60°，∠AO₂O₁=45°．
在Rt△AO₁H中，
AH=AO₁•sin∠AO₁H=2×

3

2

=

3

．
在Rt△AO₂H中，
sin∠AO₂H=

AH

AO2

=

3

AO2

=

2

2

，
解得：AO₂=

6

．
故答案為：

6

．

點評：本題考查了正多邊形與圓、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，而利用三角函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．