【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+cx軸交于A﹣10),B兩點(diǎn),(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與直線AC交于點(diǎn)C23),直線AC與拋物線的對稱軸l相交于點(diǎn)D,連接BD

1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);

2)如圖2,若點(diǎn)M、N同時從點(diǎn)D出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿DA、DB運(yùn)動,連接MN,將△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判斷四邊形DMD′N的形狀,并說明理由,當(dāng)運(yùn)動時間t為何值時,點(diǎn)D′恰好落在x軸上?

3)在平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(異于A點(diǎn)),使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(全等除外)?若存在,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).(2)四邊形DMD′N是正方形,理由見解析,經(jīng)過s時,點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處.(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(2,3).

【解析】試題分析:1)先利用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式,從而得出對稱軸與直線的交點(diǎn);

2)由拋物線解析式求得點(diǎn)A、B坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)可知ABD為等腰直角三角形,即∠DAB=DBA=45°ADB=90°,由翻折性質(zhì)得D′M=DM、DN=ND′,從而得出四邊形MDND′為菱形,根據(jù)∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形;設(shè)DM=DN=t,在RtD′NBD′N=tBN=2-t、BD′=2,根據(jù)勾股定理即可得出t的值;

3)由ABD為等腰直角三角形及PBDABD相似且不全等,知PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,結(jié)合圖形即可得答案.

解:(1)將點(diǎn)A﹣1,0)、C2,3)代入y=﹣x2+bx+c

得: ,解得:

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,

y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1,

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,

A﹣1,0)、C2,3)代入y=kx+b

得: ,解得:

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=x+1,

又∵點(diǎn)D是直線AC與拋物線的對稱軸的交點(diǎn),

xD=1yD=1+1=2,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12).

2)四邊形DMD′N是正方形,理由如下:

∵拋物線y=﹣x2+2x+3x軸交于AB兩點(diǎn),

∴令y=0,得﹣x2+2x+3=0,

解得:x1=﹣1,x2=3

A﹣1,0)、B3,0),

AD==2,BD==2AB=1+3=4,

AD2+BD2=AB2,

∴△ABD是等腰直角三角形,

∴∠DAB=DBA=45°,ADB=90°,

由翻折可知:D′M=DM、DN=ND′,

又∵DM=DN,

∴四邊形MDND′為菱形,

∵∠MDN=90°

∴四邊形MDND′是正方形;

設(shè)DM=DN=t,當(dāng)點(diǎn)D落在x軸上的點(diǎn)D′處時,

∵四邊形MDND′為正方形,

∴∠D′NB=90°,

RtD′NB中,D′N=t,BN=2t,BD′=2,

t2+2t2=22,

t1=t2=,

即:經(jīng)過s時,點(diǎn)D恰好落在x軸上的D′處.

3)存在,

如圖,

由(2)知ABD為等腰直角三角形,

∵△PBDABD相似,且不全等,

∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)或(2,3).

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2

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5

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2)有公共頂點(diǎn)的條射線可以組成_____個小于平角的角;

有公共頂點(diǎn)的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;

有公共頂點(diǎn)的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;

有公共頂點(diǎn)的條射線最多可以組成_____個小于平角的角;

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