Question

已知：△ABC內接正△DEF，AD=BF=CE，求證：△ABC為正三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：分兩種情況證明：如果AB、BC、CA中有兩條邊AB與AC相等，則AF=BD，證得△AFD≌△BDE，證得∠A=∠B，從而證得∠A=∠B=∠C，即可證得△ABC是等邊三角形；若∠A、∠B、∠C各不相等，設∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延長線上分別取P、Q，使∠DPE=60°，∠AQF=60°，通過證得△PED≌△QDF，得出PE=DQ，因為BE＞PE，DQ＞AD，AD=BE，使假設不成立，故△ABC必為等邊三角形；

解答：證明：如果AB、BC、CA中有兩條邊AB與AC相等，則AF=BD，
在△AFD與△BDE中

AF=BD BE=AD FD=DE

∴△AFD≌△BDE（SSS），
∴∠A=∠B，
∵AB=AC，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等邊三角形；
若∠A、∠B、∠C各不相等，設∠A＞60°，∠B＜60°，在BA及延長線上分別取P、Q，使∠DPE=60°，∠AQF=60°，
∵∠ADF+∠FDE+∠EDP=180°，∠DPE+∠EDP+∠PED=180，∠DPE=∠EPF=60°，
∴∠PED=∠ADF，
在△PED與△QDF中

∠EPD=∠DQF ∠DEP=∠QDF DE=DF

∴△PED≌△QDF（AAS），
∴PE=DQ，
∵∠BPE=120°，
∴BE＞PE，
∵DQ＞AD，AD=BE，
∴不成立，
故△ABC必為等邊三角形；

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，以及反證法的應用，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．