Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足為B、D，且AD與BC相交于E點(diǎn)．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求證：E點(diǎn)在y軸上；
（2）如果AB的位置不變，而DC水平向右移動(dòng)K（K＞0）個(gè)單位，此時(shí)AD與BC相交于E′點(diǎn)，如圖②，求△AE′C的面積S關(guān)于K的函數(shù)解析式；
（3）過A、E、E′三點(diǎn)的拋物線中，是否存在一條拋物線，它的頂點(diǎn)在x軸上？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：根據(jù)題意得：B（-2，0），點(diǎn)D（1，0），
設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AD的解析式為：y=2x-2，
同理可得：直線BC的解析式為：y=-x-2，
∵2x-2=-x-2，
解得：x=0，y=-2，
∴AD與BC的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-2）；
∴E點(diǎn)在y軸上；

（2）解：由（1）當(dāng)DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點(diǎn)E′作E′F⊥x軸垂足為F．
同（1）可得：=1，得：E′F=2，
∵BA∥DC，
∴S_△BCA=S_△BDA，
∴S_△AE′C=S_△BDE′=BD•E′F=（3+k）×2=3+k，
∴S=3+k為所求函數(shù)解析式．

（3）解：存在．
設(shè)拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），E（0，-2）三點(diǎn)，
得方程組，
解得a=-1，b=0，c=-2，
∴拋物線方程y=-x²-2
（注：題目未告之E（0，-2）是拋物線的頂點(diǎn)）
分析：（1）由題意可求得B（-2，0），點(diǎn)D（1，0），然后利用待定系數(shù)法求得直線AD與BC的解析式，求其交點(diǎn)，即可證得E點(diǎn)在y軸上；
（2）由（1）當(dāng)DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點(diǎn)E′作E′F⊥x軸垂足為F．同（1）可得：=1，得：E′F=2，又由BA∥DC，可得S_△BCA=S_△BDA，即可求得△AE′C的面積S關(guān)于K的函數(shù)解析式；
（3）存在．設(shè)拋物線的方程y=ax²+bx+c（a≠0）過A（-2，-6），C（1，-3），E（0，-2）三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式，注意：題目未告之E（0，-2）是拋物線的頂點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的交點(diǎn)問題，以及三角形面積問題等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．