Question

【題目】已知，如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，正方形A′B′C′D′的頂點A′與點O重合，A′B′交BC于點E，A′D′交CD于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若正方形ABCD的對角線長為4，求兩個正方形重疊部分的面積為__．

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出OE=OF；

（2）由全等可以得出S△BOE=S△COF，就可以得出S四邊形OECF=S△BOC，S△BOC的面積就可以得出結(jié)論．

詳解：（1）證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O

∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，

∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于點E，A'D'交CD于點F．

∴∠EOF=90°

∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC

∴∠BOE=∠COF．

在△OBE和△OCF中，

∠BOE=∠COF，OB=OC，∠OBC=∠OCF，

∴△BOE≌△COF（ASA）．

∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，

∴S△BOE=S△COF

∴S△EOC+S△COF=S△EOC+S△BOE，

即S四邊形OECF=S△BOC．

∵S△BOC=2，

∴兩個正方形重疊部分的面積為2．

故答案為：2．