Question

16．（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG，G在AD邊上，E在CD的延長線上．求證：AE=CG，AE⊥CG；
（2）如圖2，若將圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉角度θ（0°＜θ＜90°），此時AE=CG還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，當正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°時，延長CG交AE于點H，當AD=4，DG=$\sqrt{2}$時，求線段CH的長．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；
（2）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直；
（3）先判斷出△ADE≌△CDG，然后用互余判斷出垂直，然后用勾股定理計算出CM，AM最后用相似即可．

解答 解：（1）在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠AED=∠CGD，
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠DCG+∠AED=90°，
∴AE⊥CG．
（2）∵∠CDG+∠ADG=90°，∠ADE+∠ADG=90°，
∴∠CDG=∠ADE
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG，∠AED=∠CGD，
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠DCG+∠AED=90°，
∴AE⊥CG．
（3）如圖，

過點E作AD的垂線，垂足為N，連接AC，
在△ADE和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠ADE=∠CDG}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠EAD=∠DCM
∴tan∠DCM=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{4}{3}$
∴CM=$\sqrt{C{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，AM=AD-DM=$\frac{8}{3}$
∵△CMD∽△AMH，
∴$\frac{AH}{CD}=\frac{AM}{CM}$，
∴AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質，判定，利用互余判斷出直角，勾股定理，三角函數的意義，解本題的關鍵是判定三角形全等．