Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與y軸交于A點，與x軸交于B點，⊙P的半徑為，其圓心P在x軸上運動．

（1）如圖1，當圓心P的坐標為（1，0）時，求證：⊙P與直線AB相切；

（2）在（1）的條件下，點C為⊙P上在第一象限內(nèi)的一點，過點C作⊙P的切線交直線AB于點D，且∠ADC＝120°，求D點的坐標；

（3）如圖2，若⊙P向左運動，圓心P與點B重合，且⊙P與線段AB交于E點，與線段BO相交于F點，G點為弧EF上一點，直接寫出AG+OG的最小值　 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）D（，+2）；（3）．

【解析】

（1）連接PA，先求出點A和點B的坐標，從而求出OA、OB、OP和AP的長，即可確定點A在圓上，根據(jù)相似三角形的判定定理證出△AOB∽△POA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等量代換證出PA⊥AB，即可證出結論；

（2）連接PA，PD，根據(jù)切線長定理可求出∠ADP＝∠PDC＝∠ADC＝60°，利用銳角三角函數(shù)求出AD，設D（m，m+2），根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出m的值即可；

（3）在BA上取一點J，使得BJ＝，連接BG，OJ，JG，根據(jù)相似三角形的判定定理證出△BJG∽△BGA，列出比例式可得GJ＝AG，從而得出AG+OG＝GJ+OG，設J點的坐標為（n，n+2），根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出n，從而求出OJ的長，然后根據(jù)兩點之間線段最短可得GJ+OG≥OJ，即可求出結論．

（1）證明：如圖1中，連接PA．

∵一次函數(shù)y＝x+2的圖象與y軸交于A點，與x軸交于B點，

∴A（0，2），B（﹣4，0），

∴OA＝2，OB＝4，

∵P（1，0），

∴OP＝1，

∴OA2＝OBOP，AP=

∴＝，點A在圓上

∵∠AOB＝∠AOP＝90°，

∴△AOB∽△POA，

∴∠OAP＝∠ABO，

∵∠OAP+∠APO＝90°，

∴∠ABO+∠APO＝90°，

∴∠BAP＝90°，

∴PA⊥AB，

∴AB是⊙P的切線．

（2）如圖1﹣1中，連接PA，PD．

∵DA，DC是⊙P的切線，∠ADC＝120°，

∴∠ADP＝∠PDC＝∠ADC＝60°，

∴∠APD＝30°，

∵∠PAD＝90°

∴AD＝PAtan30°＝，

設D（m，m+2），

∵A（0，2），

∴m2+（m+2﹣2）2＝，

解得m＝±，

∵點D在第一象限，

∴m＝，

∴D（，+2）．

（3）在BA上取一點J，使得BJ＝，連接BG，OJ，JG．

∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，

∴AB＝＝＝2，

∵BG＝，BJ＝，

∴BG2＝BJBA，

∴＝，

∵∠JBG＝∠ABG，

∴△BJG∽△BGA，

∴＝＝，

∴GJ＝AG，

∴AG+OG＝GJ+OG，

∵BJ＝，設J點的坐標為（n，n+2），點B的坐標為（-4,0）

∴（n+4）2+（n+2）2＝，

解得：n=-3或-5（點J在點B右側，故舍去）

∴J（﹣3，），

∴OJ＝＝

∵GJ+OG≥OJ，

∴AG+OG≥，

∴AG+OG的最小值為．

故答案為．