Question

如圖1，已知直線y=-

4

3

x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C，以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC．
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在線段AB上取一點(diǎn)D，連接CD，將△BCD沿CD折疊，使得點(diǎn)B落在直線AC上的點(diǎn)B′處，求直線CD的解析式；
（4）在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得△CPD與△CBD全等？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，可得答案；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得B′D=BD，根據(jù)三角形的面積，可得關(guān)于D點(diǎn)的縱坐標(biāo)的方程，根據(jù)解方程，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（3）分類討論：當(dāng)△CPD≌△CBD時(shí)，當(dāng)△CPD≌△DBC時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，根據(jù)解方程組，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=-

4

3

x+4，代入y=0得x=3，∴A（3，0）；
代入x=0得y=4，∴C（0，4）；
（2）設(shè)D（3，b），根據(jù)折疊的性質(zhì)可得B′D=BD=4-b，
由勾股定理，得
AC=

OA2+CO2

=

32+42

=5，
由三角形的面積，得S_△ACD=

1

2

AD•BC=

1

2

AC•B′D，即

1

2

×3b=

1

2

×5×（4-b）．
解得b=

5

2

，即D（3，

5

2

）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+4，代入x=3，y=2.5 得k=-0.5  
∴直線CD的解析式為y=-0.5x+4；
（3）存在P點(diǎn)使得△CPD與△CBD全等，
設(shè)P（a，b），BC=4，BD=4-

5

2

=

3

2

．
當(dāng)△CPD≌△CBD時(shí)，CP=CB，PD=BD，CD=CD，得

a2+(b-4)2 =4 (a-3)2+(b- 5 2 )2 = 3 2

，
解得

a1= 11 3 b1=3

，P₁（

11

3

，3），

a2=3 b2= 5 3

，P₂（3，

5

3

）；
當(dāng)△CPD≌△DBC時(shí)，CP=DB，PD=BC，得

a2+(b-4)2 = 3 2 (a-3)2+(b- 5 2 )2 =3

，
解得

a3= 13 20 b3= 53 10

，

a4=- 13 20 b4= 27 10

即P₃（

13

20

，

53

10

），P₄（-

13

20

.

27

10

），
綜上所述：P₁（

11

3

，3），P₂（3，

5

3

），P₃（

13

20

，

53

10

），P₄（-

13

20

.

27

10

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系，（2）利用了折疊的性質(zhì)，同一個(gè)三角形面積的不同表示方法，（3）利用了全等三角形的性質(zhì)，解方程組是解題關(guān)鍵．