Question

7．如圖，△ABC的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點(diǎn)．
（1）求$\frac{OD}{BD}$的值；
（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，求證：四邊形EFGD是矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中位線定理以及平行線分線段成比例定理即可解決問題．
（2）先證明四邊形EFGD是平行四邊形，再證明對(duì)角線相等即可．

解答 （1）解：∵AE=EB，AD=DC，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{DO}{OB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴DO：DB=1：3．
（2）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE=EB，AD=DC，
∴BE=DC，DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED=FG，ED∥FG，
∴四邊形EFGD是平行四邊形，
∴EO=OG，OD=OF，
在△BCE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBD，
∴BD=CE，
∵DO：BD=1：3，同理EO：EC=1：3，
∴EO=DO，
∴EG=DF，
∴四邊形EFGD是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的判定、三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用三角形中位線定理，記住矩形的三種判定方法，屬于中考常考題型．