Question

16．已知在直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-8ax+3（a＜0）與y軸交于點A，頂點為D，其對稱軸交x軸于點B，點P在拋物線上，且位于拋物線對稱軸的右側(cè)．
（1）當(dāng)AB=BD時（如圖），求拋物線的表達式；
（2）在第（1）小題的條件下，當(dāng)DP∥AB時，求點P的坐標(biāo)；
（3）點G在對稱軸BD上，且∠AGB=$\frac{1}{2}$∠ABD，求△ABG的面積．

Answer 1

分析 （1）用拋物線的解析式化為頂點式確定頂點坐標(biāo)，對稱軸，利用兩點間距離，即可；
（2）先確定出直線AB解析式，再由DP∥AB確定出直線DP解析式，利用方程組確定出交點坐標(biāo)；
（3）利用平面坐標(biāo)系中求三角形面積常用的方法解決，（選用坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線上的線段作為底）．

解答 解：（1）∵y=ax²-8ax+3=a（x-4）²+3-16a，
∴對稱軸為x=4，B（4，0），A（0，3），
∴AB=5，
∵AB=BD，
∴BD=5，
∵拋物線的頂點為D，其對稱軸交x軸于點B，
∴3-16a=BD=5，
∴a=-$\frac{1}{8}$，
∴y=-$\frac{1}{8}$x²+x+3，
（2）∵B（4，0），A（0，3），
∴直線AB解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵DP∥AB，
設(shè)直線DP解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∵D（4，5）在直線DP上，
∴b=8，
∴直線DP解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+8}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$，
∴x₁=10，x₂=4（舍），
∴P（10，$\frac{1}{2}$）；
（3）如圖

①以B為圓心，BA為半徑作圓，交DB延長線于G₁，
∵BG=AB，
∴∠BAG₁=∠BG₁A，
∴∠AGB=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∵AB=5，點G在對稱軸BD上x=4，
∴G₁（4，-5），
∴S_△ABG1=$\frac{1}{2}$×BG₁×AH=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
②以A為圓心，AG₁為半徑作圓，交BD延長線于G₂，
過點A作AH⊥BD于H，
∴HG₂=HG₁=BH+BG₁=8，
∴BG₂=11，
∴G₂（4，11），
S_△ABG2=$\frac{1}{2}$×BG₂×AH=$\frac{1}{2}$×11×4=22；
即：S_△ABG=10或22，

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的一般形式化成頂點形式的方法，圖象交點坐標(biāo)的確定，兩直線平行的特點，坐標(biāo)系中確定三角形面積的常用方法，解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線的解析式．