Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A（-2，0），D兩點，與y軸交于點C，對稱軸x=3交x軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點M是x軸上方拋物線上一動點，過點M作MN⊥x軸于點N，交直線BC于點E．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示線段ME的長，并求出線段ME長的最大值．
（3）若點P在y軸的正半軸上，連接PA，過點P作PA垂線，交拋物線的對稱軸于點Q．是否存在點P，使以點P、A、Q為頂點的三角形與△BAQ全等？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；
（2）確定出ME與m的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)確定極值的方法確定即可；
（3）先判定出△APQ和△ABQ都是直角三角形，因此分兩種情況討論即可．

解答 解：（1）由題意得，點D的坐標(biāo)為（8，0），
把點A、D的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+4$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4．
（2）由題意，點C，點B坐標(biāo)分別為（0，4），（3，0），
則直線CB解析式y(tǒng)=-$\frac{4}{3}$x+4，
點M坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4），點E坐標(biāo)為（m，-$\frac{4}{3}$m+4），
①當(dāng)-2＜m≤0時，
ME=-$\frac{4}{3}$m+4-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{17}{6}$m，
m=-2時，ME=$\frac{20}{3}$，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，ME＜$\frac{20}{3}$；
②當(dāng)0＜m＜8時，
ME=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m+4-（-$\frac{4}{3}$m+4）=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{17}{6}$m=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{17}{3}$）²+$\frac{289}{36}$
當(dāng)m=$\frac{17}{3}$時，ME取得最大值，最大值為$\frac{289}{36}$．
綜上所述，當(dāng)-2＜m≤0時，ME=$\frac{1}{4}$m²-$\frac{17}{6}$m，當(dāng)0＜m＜8時，ME=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{17}{6}$m．
當(dāng)m=$\frac{17}{3}$時，ME取得最大值，最大值為$\frac{289}{36}$．
（3）存在，
∵PA⊥PQ，BQ⊥x軸
∴∠APQ=∠ABQ=90°，
∴△APQ和△ABQ中．點P和點B是對應(yīng)點，
∵以點P、A、Q為頂點的三角形與△BAQ全等，
只有兩種情況：
設(shè)點P（0，c），Q（3，n）（c＞0，
∴AB=5，BQ=n，PA=$\sqrt{4+{c}^{2}}$，PQ=$\sqrt{9+（c-n）^{2}}$，
①△PAQ≌△BAQ，
∴PA=BA，PQ=BQ，
∴$\sqrt{4+{c}^{2}}$=5，$\sqrt{9+（c-n）^{2}}$=n，
∴c=$\sqrt{21}$或c=-$\sqrt{21}$（舍），
∴P（0，$\sqrt{21}$），
②△PQA≌△BAQ，
∴PA=BQ，PQ=AB，
∴$\sqrt{4+{c}^{2}}$=n，$\sqrt{9+（c-n）^{2}}$=5，
∴c₁=$\frac{3}{2}$，d₁=-$\frac{5}{2}$或c₂=-$\frac{3}{2}$，d₂=$\frac{5}{2}$（舍）
故點P坐標(biāo)為P₁（0，$\sqrt{21}$），P₂（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定解析式，兩點間的距離公式，全等三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式．