Question

如圖，圓O的半徑為r．
（1）在圖①中，畫出圓O的內(nèi)接正△ABC，簡要寫出畫法；求出這個正三角形的周長．
（2）在圖②中，畫出圓O的內(nèi)接矩形ABCD，簡要寫出畫法；若設(shè)AB=x，則矩形的周長為

 

．
（3）如圖③，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r（常數(shù)）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并探究L是否有最大值，若有，請指出x為何值時，L取得最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：（1）首先把圓六等份，然后連接三個不相鄰的頂點即可作出；
（2）根據(jù)對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，順次連接矩形的四個頂點即可作出；
（3）連接AC，利用相似三角形的性質(zhì)求得DG的長，則BC和EF即可利用x和r表示出來，從而得到L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）首先把圓六等份，然后連接三個不相鄰的頂點即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=

AC2-AB2

=

4r2-x2

，
則BC=AD=

4r2-x2

，CD=AB=x．
則矩形的周長是：2x+2

4r2-x2

，
故答案是：2x+2

4r2-x2

；
（3）連接AC，
∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于點G．
∴CD²=DG•AD，
∴DG=

CD2

AD

=

x2

2r

，
∴BC=EF=AD-2DG=2r-

x2

r

．
則L=4x+4r-

2x2

r

．
當x=-

4

- 4 r

=r時，L取得最大值．最大值是：6r．

點評：此題考查了正多邊形和圓的知識．題目難度不大，利用x和半徑r表示出BD和EF的長度是關(guān)鍵．