Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AC平分∠DAB，直線DC與AB的延長線相交于點(diǎn)P，AD與PC延長線垂直，垂足為D，CE平分∠ACB，交⊙O于E．

（1）求證：PC與⊙O相切；

（2）若AC=6，tan∠BEC=，求BE的長度以及圖中陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE=，．

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACO =∠DAC，得到OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥PC，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；

（2）連接OE，根據(jù)角平分線的定義、圓周角定理得，證得為等腰直角三角形，，根據(jù)正切的定義求出BC，根據(jù)勾股定理求出AB，即可求出OB、BE；利用陰影部分面積=S扇形BOE列式計(jì)算即可．

（1）如圖，連結(jié)OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAO，

∵OC =OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠ACO =∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥PD，則∠D=90°，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC⊥PC，即PC與⊙O相切；

（2）如圖，連結(jié)OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=，

∵，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，則，

∵，

∴∠CAB=∠BEC，

∵tan∠BEC=，

∴tan∠CAB = tan∠BEC=，

在中，AC=6，

∴，即，

解得：BC=4，由勾股定理得AB=，

∴，

∴；

∴陰影部分面積=S扇形BOE

．