Question

【題目】如圖，四邊形AOBC是正方形，點C的坐標是（4，0）．

（Ⅰ）正方形AOBC的邊長為　 　，點A的坐標是　 　．

（Ⅱ）將正方形AOBC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A，B，C旋轉(zhuǎn)后的對應點為A′，B′，C′，求點A′的坐標及旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；

（Ⅲ）動點P從點O出發(fā)，沿折線OACB方向以1個單位/秒的速度勻速運動，同時，另一動點Q從點O出發(fā)，沿折線OBCA方向以2個單位/秒的速度勻速運動，運動時間為t秒，當它們相遇時同時停止運動，當△OPQ為等腰三角形時，求出t的值（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積為；（3）.

【解析】

（1）連接AB，根據(jù)△OCA為等腰三角形可得AD=OD的長，從而得出點A的坐標，則得出正方形AOBC的面積；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA′的長，從而得出A′C，A′E，再求出面積即可；
（3）根據(jù)P、Q點在不同的線段上運動情況，可分為三種列式①當點P、Q分別在OA、OB時，②當點P在OA上，點Q在BC上時，③當點P、Q在AC上時，可方程得出t．

解：（1）連接AB，與OC交于點D，

四邊形是正方形，
∴△OCA為等腰Rt△，

∴AD=OD=OC=2，
∴點A的坐標為.

4，.

（2）如圖

∵ 四邊形是正方形，

∴，.

∵ 將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，

∴ 點落在軸上.

∴.

∴ 點的坐標為.

∵，

∴.

∵ 四邊形，是正方形，

∴，.

∴，.

∴.

∴.

∵，

，

∴ .

∴旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積為.

（3）設t秒后兩點相遇，3t=16，∴t=

①當點P、Q分別在OA、OB時，

∵,OP=t，OQ=2t

∴不能為等腰三角形

②當點P在OA上，點Q在BC上時如圖2，

當OQ=QP，QM為OP的垂直平分線，
OP=2OM=2BQ，OP=t，BQ=2t-4，
t=2（2t-4），
解得：t=．

③當點P、Q在AC上時，

不能為等腰三角形

綜上所述，當時是等腰三角形