Question

已知，如圖，點O是的角∠MAN平分線上任意一點，以點O為圓心的圓切AM于點B．
（1）求證：直線AN是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若∠MAN=60°，且AO=2cm，求兩切點之間的弧長．

Answer 1

考點：切線的判定,弧長的計算

專題：

分析：（1）連接OB，作OC⊥AN于C，根據(jù)切線性質(zhì)推出OB⊥AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OC=OB，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）先求得∠BOC=120°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求得半徑，然后根據(jù)弧長公式即可求得．

解答：（1）證明：連接OB，作OC⊥AN于C，
∵⊙O切AM于B，
∴OB⊥AM，
又∵AO平分∠MPN，OC⊥AN，
∴OC=OB，
∴直線AN是⊙O的切線．
（2）解∵直線AN，AM是⊙O的切線，
∴∠MAO=

1

2

∠MAN=

1

2

×60°=30°，
∵OC⊥AN，OB⊥AM，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠BOC=360°-∠MAN-∠ABO-∠ACO=360°-60°-90°-90°=120°，
在RT△ABO中，∠MAO=30°，AO=2cm，
∴OB=

1

2

AO=

1

2

×2=1cm，
∴劣弧BC的長為

120π×1

180

=

2

3

π，
同理：優(yōu)弧BC的長為

240π×1

180

=

4

3

π，
∴兩切點之間的弧長為

2

3

π或

4

3

π．

點評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，弧長的計算等，作出OC⊥AN是解題的關(guān)鍵．