Question

18．如圖，E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓⊙O相交于點(diǎn)D．
（1）求證：△BDE是等腰三角形；
（2）若⊙O的直徑為10cm，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明△BDE是等腰三角形，只要證明∠DBE=∠BED即可．
（2）連接OB、OD，只要證明△OBD是等邊三角形即可解決問題．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠CBD．
∵∠DBE=∠CBD+∠∠CBE，∠BED=∠ABE+∠BAD．
∴∠DBE=∠BED，
∴DB=DE，
∴△BDE是等腰三角形．

（2）連接OB、OD，則∠BOD=2∠BAD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD=DE=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．