Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線α：y=-x-

2

與坐標(biāo)軸分別交于A，C兩點(diǎn)，
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）點(diǎn)B為直線y=-

2

2

上的一個(gè)動點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，AC長為直徑作⊙B，當(dāng)⊙B與直線α相切時(shí)，求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)⊙B過A，O，C三點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E是劣弧上一點(diǎn)，連接EC，EA，EO，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上運(yùn)動時(shí)（不與A，O兩點(diǎn)重合），

EC-EA

EO

的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值，如果變化，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）已知點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，故可推出OA=OC，最后可得∠CAO=45°．
（2）設(shè)B（m，-

2

2

）．依題意，由于直線BM的斜率為1，則設(shè)直線BM為：y=x+b，代入B求得直線BM的解析式，解兩個(gè)解析式構(gòu)成的方程組求得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)BM等于圓B的半徑，列出方程，解這個(gè)方程即可求得；
（3）在CE上截取CK=EA，連接OK，證明△OAE≌△OCK推出OE=OK，∠EOA=∠KOC，∠EOK=∠AOC=90°．最后可證明

EC-EA

EO

=

2

．

解答：解：（1）令直線a：y=-x-

2

中，y=0求出x=-

2

，
∴A（-

2

，0），
令x=0求出y=-

2

，∴C（0，-

2

），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）如圖1，設(shè)B（m，-

2

2

）．
∵⊙B與直線α相切，
∴BM⊥AC，
∴直線BM的斜率為1，
∴設(shè)直線BM為：y=x+b，
代入B點(diǎn)的坐標(biāo)得：b=-m-

2

2

，
∴直線BM的解析式為：y=x-m-

2

2

，
解

y=x-m- 2 2 y=-x- 2

得：

x= m 2 - 2 4 y=- m 2 - 3 2 4

，
∴交點(diǎn)M（

m

2

-

2

4

，-

m

2

-

3 2

4

），
∴（

m

2

-

2

4

-m）²+（-

m

2

-

3 2

4

+

2

2

）²=（

2

2

）²
解得：m=

2

2

或m=-

3 2

2

，
∴B（

2

2

，-

2

2

）或（-

3 2

2

，-

2

2

）；

（3）

EC-EA

EO

的值不變，等于

2

，如圖2，
在CE上截取CK=EA，連接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK，
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=

2

EO，∴

EC-EA

EO

=

2

．

點(diǎn)評：此題綜合考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法、函數(shù)、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、圓的有關(guān)性質(zhì)等知識．此題綜合性強(qiáng)，難度較大，把重點(diǎn)知識穿插進(jìn)行了考查．