Question

【題目】臺(tái)球桌的形狀是一個(gè)長(zhǎng)方形，當(dāng)母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了母球最終擊中目標(biāo)球，擊球者需作出不同的設(shè)計(jì)，確定擊球的方向，因此，臺(tái)球既復(fù)雜又有趣，臺(tái)球運(yùn)動(dòng)被稱為智慧和技能的較量．

問(wèn)題1：如圖（1），如果母球P擊中桌邊點(diǎn)A，經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過(guò)的路線BC與PA平行嗎？證明你的判斷．

問(wèn)題2：在一張簡(jiǎn)易球桌ABCD上，如圖（2）所示，目標(biāo)球F、母球E之間有一個(gè)G球阻擋，擊球者想通過(guò)擊打母球E先撞球臺(tái)的CD邊，過(guò)一次反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到CD邊上的哪一點(diǎn)？

請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖（2）中作出這一點(diǎn)．

問(wèn)題3：如圖（3），在簡(jiǎn)易球臺(tái)ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了 次；若AB=100，BC=99，母球P還終將會(huì)落入某個(gè)角落的球袋，則它在落入球袋之前，在桌子邊緣總共回彈了 次．

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．

Answer 1

【答案】問(wèn)題1 BC∥PA；問(wèn)題2見(jiàn)解析；問(wèn)題3比前一次的位置下移2格，所以要撞擊邊的次數(shù)為100+99﹣2=197次．

【解析】

試題分析：（1）類似于光線的反射問(wèn)題，可通過(guò)計(jì)算同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出平行的結(jié)論；

（2）入射角等于反射角，找出E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接E1F交AB于H根據(jù)對(duì)稱圖形的特點(diǎn)及對(duì)頂角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的長(zhǎng)運(yùn)用勾股定理求出E1F的長(zhǎng)，因?qū)��?yīng)邊EH=E1H，E1H即為所求；

（3）根據(jù)當(dāng)AB=4，AD=3時(shí)的例圖及彈子的運(yùn)行規(guī)律：每一條運(yùn)行軌跡都是一個(gè)正方形的對(duì)角線，畫(huà)出圖形，即可得出結(jié)論．

解：（1）如圖，

∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE，

∴∠PAB=180°﹣2∠BAE．

同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE．

∵∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°．

∴BC∥PA．

（2）可作點(diǎn)E關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E1，連接E1F，E1F與AB交于點(diǎn)H，球E的運(yùn)動(dòng)路線就是EH→HF，

過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線交E1E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

；

（3）如圖，

母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了5次；

設(shè)由DC邊反彈，彈子撞擊BC邊的位置距離C點(diǎn)為K格，從BC邊反彈后，彈子撞擊AB邊的位置距離B點(diǎn)為（99﹣k）格，距離A點(diǎn)為（k+1）格經(jīng)過(guò)AB邊反彈后，彈子撞擊AD邊的位置距離A點(diǎn)為（k+1）格，距離D點(diǎn)為[99﹣（K+1）]格，經(jīng)AD反彈，彈子撞擊DC邊的位置距離D點(diǎn)為[99﹣（k+1）]格，距離C點(diǎn)為100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞擊BC邊的位置距離C點(diǎn)為k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞擊邊的次數(shù)為100+99﹣2=197次．