Question

如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P、E分別在AB、AC邊上，且PB=EB，連接PD，N為PD的中點，連接AN、EN．
（1）求證：AN⊥EN；
（2）如圖2，連接AC，過點E作EF⊥AC，F為垂足，連接NF，試判定線段AF、EF與NF的數量關系，并給予證明．

Answer 1

考點：菱形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）延長AN交CD于G，連接AE，GE，PE，根據菱形的性質，通過ASA證明△APN≌△GDN，過SAS證明△APE≌△ECG，再根據全等三角形的性質和等腰三角形三線合一的性質即可求解；
（2）首先得到

AN

EN

=

1

3

，作QN⊥NF于N交AF于點Q，根據相似三角形的判定和性質，由AQ+FQ=AF即可得到線段AF、EF與NF的數量關系．

解答：（1）證明：如圖1，延長AN交CD于G，連接AE，GE，PE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，AB∥CD，
∴∠APN=∠NDG，
在△APN與△GDN中

∠APN=∠NDG PN=DN ∠ANP=∠GND

∴△APN≌△GDN（ASA）
∴AN=GN，AP=DG，
∴PB=CG，
∵∠ABC=60°，PB=EB，
∴△PBE是等邊三角形，
∴PE=PB，
∴PE=CG，
在△APE△ECG中

AP=EC ∠APE=∠ECG PE=CG

∴△APE≌△ECG（SAS），
∴AE=GE，
又∵AN=GN，
∴AN⊥EN，

（2）由（1）知∠GEC=∠BAE
又∵∠BAE+∠BEA=120°
∴∠GEC+∠BEA=120°
∴∠AEG=60°
∴

AN

EN

=

1

3

如圖2，作QN⊥NF于N交AF于點Q
∵AN⊥EN，EF⊥AC，
∴∠ANE=∠AFE=∠QNF=90°
∴∠QAN=FEN，∠ANQ=∠ENF，
∴△AQN∽△EFN，
∴

AQ

EF

=

NQ

NF

=

AN

EN

=

1

3

，
∴AQ=

3

3

EF，NQ=

3

3

NF，
∴FQ=

2 3

3

NF
∵AQ+FQ=AF，
∴

3

3

EF+

2 3

3

NF=AF，即EF+2NF=

3

AF．

點評：考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形三線合一的性質，相似三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，綜合性較強，有一定的難度．