Question

5．菱形ABCD中，O對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S，若AD=4，∠DCB=60°，BS=10，求CR、OD和AR的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由菱形的性質(zhì)得DC=CB=DA=4，AD∥BC，再由∠DCB=60°得到△BCD為等邊三角形，則BD=BC=4，作AH⊥BC于H，如圖，在Rt△ABH中計(jì)算出BH=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，在Rt△AHS中利用勾股定理計(jì)算出AS=2$\sqrt{39}$，接著證明△ADO∽△SBO，利用相似比得到DO：BO=4：10=2：5，則DO=$\frac{2}{7}$BD=$\frac{8}{7}$；然后證明△ADR∽△SCR，利用相似比得到DR：CR=AR：SR=2：3，于是得到CR=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，AR=$\frac{2}{5}$AS=$\frac{4\sqrt{39}}{5}$．

解答 解：∵菱形ABCD中，AD=4，
∴DC=CB=DA=4，AD∥BC，
∵∠DCB=60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BD=BC=4，
作AH⊥BC于H，如圖，
在Rt△ABH中，∵∠ABH=∠DCB=60°
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=2，AH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHS中，AS=$\sqrt{A{H}^{2}+S{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+1{2}^{2}}$=2$\sqrt{39}$，
∵AD∥BS，
∴△ADO∽△SBO，
∴AD：BS=DO：BO，即DO：BO=4：10=2：5，
∴DO=$\frac{2}{7}$BD=$\frac{8}{7}$；
∵AD∥SC，
∴△ADR∽△SCR，
∴AD：CR=DR：CR=AR：SR，即DR：CR=AR：SR=4：（10-4）=2：3，
∴CR=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{12}{5}$，AR=$\frac{2}{5}$AS=$\frac{4\sqrt{39}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；利用相似三角形的性質(zhì)主要是利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)．