【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OB.

(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn),連接BE,CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,若線段PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),

∴OB=3,

∵OC=OB,

∴OC=3,

∴c=3,

,

解得: ,

∴所求拋物線解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;


(2)解:如圖2,過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,

設(shè)E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0),

∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a,

∴S四邊形BOCE= BFEF+ (OC+EF)OF,

= (a+3)(﹣a2﹣2a+3)+ (﹣a2﹣2a+6)(﹣a),

=﹣ a+

=﹣ (a+ 2+ ,

∴當(dāng)a=﹣ 時,S四邊形BOCE最大,且最大值為

此時,點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣ , );


(3)解:∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1,點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,

∴設(shè)P(﹣1,m),

∵線段PA繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上,

①當(dāng)m≥0時,

∴PA=PA1,∠APA1=90°,

如圖3,過A1作A1N⊥對稱軸于N,

設(shè)對稱軸于x軸交于點(diǎn)M,

∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°,

∴∠NA1P=∠NPA,

在△A1NP與△PMA中,

,

∴△A1NP≌△PMA,

∴A1N=PM=m,PN=AM=2,

∴A1(m﹣1,m+2),

代入y=﹣x2﹣2x+3得:m+2=﹣(m﹣1)2﹣2(m﹣1)+3,

解得:m=1,m=﹣2(舍去),

②當(dāng)m<0時,要使P2A=P2A,2,由圖可知A2點(diǎn)與B點(diǎn)重合,

∵∠AP2A2=90°,∴MP2=MA=2,

∴P2(﹣1,﹣2),

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣1,1)或(﹣1,﹣2).


【解析】(1)已知拋物線過A、B兩點(diǎn),可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;(2)由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算,過E作EF⊥x軸于F,四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積.直角梯形FOCE中,F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值,EF為E的縱坐標(biāo),已知C的縱坐標(biāo),就知道了OC的長.在三角形BFE中,F(xiàn)=BO﹣OF,因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長.如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo),然后代入上面的線段中,即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值.即可求出此時E的坐標(biāo);(3)由P在拋物線的對稱軸上,設(shè)出P坐標(biāo)為(﹣1,m),如圖所示,過A′作A′N⊥對稱軸于N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等,再由同角的余角相等得到一對角相等,根據(jù)一對直角相等,利用AAS得到△A′NP≌△PMA,由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到A′N=PM=|m|,PN=AM=2,表示出A′坐標(biāo),將A′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)m的值,即可確定出P的坐標(biāo).

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A.
B.
C.
D.

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根據(jù)以上信息完成下列問題:

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(1)求m,n的值.
(2)點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),(點(diǎn)M在AB下方),過M作MN⊥x軸,與AB交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)Q.求MN的最大值.
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