【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”.已知點C的坐標(biāo)為(0,),點M是拋物線C2:(<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)當(dāng)△BDM為直角三角形時,求的值.
(3)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
【答案】(1)A(-1,0),B(3,0);(2)-;(3)P(,-);.
【解析】
試題分析: (1)將y=mx2-2mx-3m化為交點式,即可得到A、B兩點的坐標(biāo);
(2)先表示出DM2,BD2,MB2,再利用DM2+MB2=BD2,即可求得m的值;
(3)先用待定系數(shù)法得到拋物線C1的解析式,過點P作PQ∥y軸,交BC于Q,用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式,再根據(jù)三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值.
試題解析:(1)由題意可得:y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1),
∵m≠0,
∴當(dāng)y=0時,0=m(x-3)(x+1),
解得:x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0);
(2)如圖1,
∵y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,
∴頂點M坐標(biāo)(1,-4m),
當(dāng)x=0時,y=-3m,
∴D(0,-3m),B(3,0),
∴DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1,
MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4,
BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9,
當(dāng)△BDM為Rt△,∠M為直角的直角三角形時,有:DM2+MB2=BD2.
DM2+MB2=BD2時有:m2+1+16m2+4=9m2+9,
解得m=-(m=舍去).
故m=-時,△BDM為以∠M為直角的直角三角形;
(3)設(shè)C1:y=ax2+bx+c,將A、B、C三點的坐標(biāo)代入得:
, 解得,
故C1:y=x2-x-.
如圖2:過點P作PQ∥y軸,交BC于Q,
由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為:y=x-,
設(shè)P(x,x2-x-),則Q(x,x-),
PQ=x--(x2-x-)=-x2+x,
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOB=×(-x2+x)×3=-(x-)2+,
當(dāng)x=時,S△PBC有最大值,Smax=,
則×()2--=-,
故P(,-).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一條長為2015個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點A處,并按A—B—C-D—A一B一…的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上,則細(xì)線另一端所在位置的點的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為-1,且圖象的頂點坐標(biāo)為(0,-3).則這個二次函數(shù)的表達(dá)式為 .
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