Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對(duì)稱軸為直線．

（1）求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）如果直線y=kx+b經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）詳見解析.

【解析】

（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a、c，將解析式配成頂點(diǎn)式即可得到對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先由C、M兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CM解析式，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由于C、N兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，則CN‖AD，同時(shí)可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出CN=AD，即可得出結(jié)論.

（1）∵拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，3），

∴，

∴，

∴

故對(duì)稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)M（1，4）；

（2）如圖：

∵點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，

∴N（2，3），

∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，

∴，

∴，

∴y=x+3，

∵y=x+3與x軸交于點(diǎn)D，

∴D（-3，0），

∴AD=2=CN

又∵AD‖CN，

∴CDAN是平行四邊形.