Question

6．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長線相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AC=3AE，求$\frac{AF}{FC}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)等邊對等角性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線；
（2）根據(jù)圓周角定理、勾股定理得出BE=2$\sqrt{2}$AE，CE=4AE，然后根據(jù)勾股定理求得BE=2$\sqrt{2}$AE，然后證得△DFC∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC，然后根據(jù)射影定理得出（$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC）²=AF•FC，即可求得$\frac{AF}{FC}$的值．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：連接BE，AD，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AC=3AE，
∴AB=3AE，CE=4AE，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$AE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠DFC=∠AEB=90°，
∴DF∥BE，
∴△DFC∽△BEC，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
∴DF²=AF•FC，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$FC）²=AF•FC，
∴$\frac{1}{2}$FC=AF，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)等，是一道綜合題，難度中等．