Question

18．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過D作⊙O的切線交AC于E
（1）求證：DE⊥AC；
（2）連OC交DE于F，若AE=2，DE=3，求$\frac{DF}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠B，∠ODB=∠B，則∠ACB=∠ODB，于是可判斷OD∥AC，再利用切線的性質(zhì)OD⊥DE，所以DE⊥AC；
（2）連結(jié)AD，如圖，先利用勾股定理計算出AD，再證明Rt△AED∽Rt△ADC，利用相似比計算出AC，從而得到CE和OD的長，然后由OD∥CE，根據(jù)平行線分線段成比例定理可求$\frac{DF}{EF}$的值．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB=AC，OD=OB，
∴∠ACB=∠B，∠ODB=∠B，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE為切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）解：連結(jié)AD，如圖，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠DAC，
∴Rt△AED∽Rt△ADC，
∴AD：AC=AE：AD，即$\sqrt{13}$：AC=2：$\sqrt{13}$，解得AC=$\frac{13}{2}$，
∴AB=AC=$\frac{13}{2}$，CE=AC-AE=$\frac{9}{2}$，
∴OD=$\frac{13}{4}$，
∵OD∥CE，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OD}{CE}$=$\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{13}{18}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用相似比計算出AC．