Question

如圖，半徑為1的⊙M經(jīng)過直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，∠OMA=60°，過點(diǎn)B的切線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)A、B、C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可直接得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（1，0），B（0，）；
（2）再根據(jù)BC是切線，可求出BC的長(zhǎng)，即得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）先假設(shè)存在，看能否求出符合條件的點(diǎn)D即可．
解答：解：（1）∵M(jìn)O=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=，
∴A（1，0），B（0，）；

（2）∵BC是切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A、B、C代入得，
，
解得
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+；

（3）設(shè)在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D，使△BCD是等腰三角形，
對(duì)稱軸為x=-1，設(shè)點(diǎn)D（-1，m），
分3種情況討論：①BC=BD；=2，
解得m=±+；
②BC=CD；=2，解得m=±2；
③BD=CD；=，解得：m=0，
∴符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為，（-1，+），（-1，-+），（-1，2），（-1，-2），（-1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形判定等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．