如下圓,AB是⊙O的直徑,直線PQ過⊙O上的點(diǎn)C,PQ是⊙O的切線。

(1)求證:∠BCP=∠A;

(2)如果AB是⊙O的弦(不是直徑),這個(gè)結(jié)論還成立嗎?試說明。

(1)證明:連接OC              

PQ是⊙O的切線

∴OC⊥PQ

∴∠OCB+∠BCP=90°        

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB                  

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠OBC+∠A=90°

∴∠BCD=∠A            

(2)答:如果AB是⊙O的弦(不是直徑),這個(gè)結(jié)論還成立   

理由為:過C點(diǎn)作直徑CD,連接BD,則∠A=∠D,∠DBC=90°

∴∠D+∠DCB=90°        

∵PQ是⊙O的切線

∴OC⊥PQ

∴∠DCB+∠BCP=90°          

∴∠BCP=∠D

∴∠BCP=∠A              

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一座拱型橋,橋下水面寬度AB是20米,拱高CD是4米.若水面上升3米至EF,則水面寬度EF是多少?
(1)若把它看作是拋物線的一部分,在坐標(biāo)系中(如圖1)可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax2+c.請你填空:
a=
 
,c=
 
,EF=
 
米.
(2)若把它看作是圓的一部分,則可構(gòu)造圖形(如圖2)計(jì)算如下:
設(shè)圓的半徑是r米,在Rt△OCB中,易知r2=(r-4)2+102,r=14.5
同理,當(dāng)水面上升3米至EF,在Rt△OGF中可計(jì)算出GF=
 
,即水面寬度EF=
 
米.
(3)請估計(jì)(2)中EF與(1)中你計(jì)算出的EF的差的近似值(誤差小于0.1米).精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AP的延長線上,取B關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點(diǎn)就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn),連接EF,在線段EF上找一點(diǎn)P,使BP+AP最短.
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接AC交EF于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+AP的最小值為
 

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(2)實(shí)踐運(yùn)用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動,求BP+AP的最小值.
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(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M,使△ACM周長最小,請求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值.(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā),走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
做法如下:如圖1,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AD的延長線上,取B關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點(diǎn)就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如圖2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn),連接EF,在線段EF上找一點(diǎn)P,使BP+AP最短.
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對稱點(diǎn),恰好與點(diǎn)C重合,連接AC交EF于一點(diǎn),則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,故BP+AP的最小值為
2
3
2
3

(2)實(shí)踐運(yùn)用
如圖3,已知⊙O的直徑MN=1,點(diǎn)A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動,求BP+AP的最小值.
(3)拓展遷移
如圖4,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B.
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M,使△ACM周長最小,請求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值.(結(jié)果保留根號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們學(xué)習(xí)了“弧、弦、圓心角的關(guān)系”,實(shí)際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”如下:圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角i兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們對應(yīng)的其余各組量也相等.(弦心距指從圓心到弦的距離(如圖(1)中的OC、OC′),弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度.)
請直接運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解答下列問題.
如圖(2),O是∠EPF的平分線上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心的圓與角的兩邊分別交子點(diǎn)A、B、C、D.
(1)求證:AB=CD;
(2)若角的頂點(diǎn)P在圓上或圓內(nèi),上述結(jié)論還成立嗎?若不成立,請說明理由;若成立,請加以證明.

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