Question

20．如圖，拋物線y=ax²+bx-1（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N在拋物線上，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的Rt△DNM與Rt△BOC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）確定出當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P就是BC和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可．
（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或$\frac{1}{2}$，建立關(guān)于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的方程，求出即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-1（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-1=0}\\{4a+2b-1=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{8}$），
（2）如圖1，

連接BC與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，連接AC，AP，
∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
∴PA=PB，
∵B（2，0），C（0，-1），
∴直線BC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，
∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
（3）如圖2，

過(guò)點(diǎn)作NF⊥DM，
∵B（2，0），C（0，-1），
∴OB=2，OC=1，
∴tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，tan∠OCB=$\frac{OB}{OC}$=2，
設(shè)點(diǎn)N（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1），
∴FN=|m-$\frac{1}{2}$|，F(xiàn)D=|$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1+$\frac{9}{8}$|=|$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{8}$|，
∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，
∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB，
①當(dāng)∠MDN=∠OBC時(shí)，
∴tan∠MDN=$\frac{FN}{FD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|m-\frac{1}{2}|}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{1}{2}m+\frac{1}{8}|}$=$\frac{1}{2}$
∴m=$\frac{1}{2}$（舍）或m=$\frac{9}{2}$或m=-$\frac{7}{2}$，
∴N（$\frac{9}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，$\frac{55}{8}$），
②當(dāng)∠MDN=∠OCB時(shí)，
∴tan∠MDN=$\frac{FN}{FD}$=2，
∴$\frac{|m-\frac{1}{2}|}{|\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{1}{2}m+\frac{1}{8}|}$=2，
∴m=$\frac{1}{2}$（舍）或m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{1}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{8}$）；
∴符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)（$\frac{9}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（-$\frac{7}{2}$，$\frac{55}{8}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線的對(duì)稱(chēng)性，三角函數(shù)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，絕對(duì)值方程，過(guò)點(diǎn)N作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線是解本題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)．