Question

15．如圖①，△ABC是等邊三角形，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，連接DE、DC后，可以發(fā)現(xiàn)利用旋轉(zhuǎn)變換的不變性，原有的條件發(fā)生了轉(zhuǎn)移，使問題得以轉(zhuǎn)化．這種利用“旋轉(zhuǎn)”解決問題的方法在解題中有很多應(yīng)用，你不妨嘗試解決下列問題：
如圖②，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=α，PB=2α，PC=3α（a為正數(shù)），求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 已知PA=a，PB=2a，PC=3a，并不在同一個(gè)三角形中，因?yàn)锳B=BC，可將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得△CBQ，連接PQ，構(gòu)成兩個(gè)特殊三角形，可求∠APB的度數(shù)；

解答 解：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得△CBQ，如圖，
則△ABP≌△CBQ且PB⊥QB，
于是PB=QB=2a，PQ=2$\sqrt{2}$a，
在△PQC中，
∵PC²=9a²，PQ²+QC²=9a²，
∴PC²=PQ²+QC²．
∴∠PQC=90°，
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，正確應(yīng)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．