Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，過點D作DE⊥AD交AB于點E，以AE為直徑作⊙O．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若∠ABC=30°，⊙O的直徑為4，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，由AE為直徑、DE⊥AD可得出點D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根據(jù)AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可得出AC∥DO，再結(jié)合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，進而即可證出BC是⊙O的切線；
（2）由題意得出AE=4，DO=AO=EO=AE=2，由直角三角形的性質(zhì)得出CD，DE，由勾股定理求出AD，AC，由三角函數(shù)求出BC，由三角形面積、梯形面積和扇形面積公式即可得出答案．

（1）連接OD，如圖所示．

在Rt△ADE中，點O為AE的中心，

∴DO=AO=EO=AE，

∴點D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAO，

∴∠ADO=∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．

∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的直徑為4，

∴AE=4，DO=AO=EO=AE=2．

∵∠ABC=30°，

∴∠CAD=∠DAO=30°，

∴CD=AD，DE=AE=2，AD==2，

∴CD=，AC==3．

∵tan∠ABC=，

∴BC=3，

∴陰影部分面積=S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE

=ACBC﹣（OD+AC）CD﹣

=×3×3﹣（2+3）×﹣

=2﹣π．