Question

如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積；
（3）點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F．問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x-2）²-1，代入C（O，3）后，得：
a（0-2）²-1=3，a=1
∴拋物線的解析式：y=（x-2）²-1=x²-4x+3．

（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：
3k+3=0，k=-1
∴直線BC：y=-x+3；
由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸：x=2，則 D（2，1）；
∴AD=

AG2+DG2

=

2

，AC=

OC2+OA2

=

10

，CD=

(3-1)2+22

=2

2

，
即：AC²=AD²+CD²，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

×

2

×2

2

=2．

（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x軸；
將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±

2

；
當(dāng)x=2+

2

時(shí)，y=-x+3=1-

2

；
當(dāng)x=2-

2

時(shí)，y=-x+3=1+

2

；
∴E₁（2+

2

，1-

2

）、E₂（2-

2

，1+

2

）．
②∠EDF=90°；
易知，直線AD：y=x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2；
當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+3=-1；
∴E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：（2+

2

，1-

2

）、（2-

2

，1+

2

）、（1，2）或（4，-1）．