Question

14．如圖1，在△ABC中，CD為AB邊上的中線，點(diǎn)E、F分別在線段CD、AD上，且$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$．點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，射線DG交AC于點(diǎn)H．
（1）求證：△DFE∽△DAC；
（2）請你判斷點(diǎn)H是否為AC的中點(diǎn)？并說明理由；
（3）若將△ADH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′DH′，使射線DH′與射線CB相交于點(diǎn)M（不與B，C重合．圖2是旋轉(zhuǎn)后的一種情形），請?zhí)骄俊螧MD與∠BDA′之間所滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中線的概念和相似三角形的判定定理證明即可；
（2）證明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，根據(jù)線段中點(diǎn)的概念得到EG=FG，等量代換即可；
（3）分點(diǎn)M在線段BC上和點(diǎn)M在CB的延長線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：∵CD為AB邊上的中線，
∴DB=DA，
∵$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{DF}{DA}=\frac{DE}{DC}$，又∠FDE=∠ADC，
∴△DFE∽△DAC；
（2）解：點(diǎn)H為AC的中點(diǎn)．
理由如下：∵△DFE∽△DAC，
∴∠DFE=∠DAC，
∴EF∥AC，
∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，
∴$\frac{DG}{DH}=\frac{FG}{AH}$，$\frac{DG}{DH}=\frac{EG}{HC}$，
∴$\frac{EG}{HC}=\frac{FG}{AH}$，
∵點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，
∴EG=FG，
∴HC=AH，即點(diǎn)H為AC的中點(diǎn)；
（3）解：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)（不與B，C重合），
∠BMD+∠BDA'=180°，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠HDH′，
∵將△ADH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'．
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∴∠BMD+∠BDA′=180°；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，∠BMD=∠BDA'，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠NDH，
∵將△ADH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'，
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∠NDH+∠HDH′=180°，
∴∠NDH=∠BDA′，
∴∠BMD=∠BDA′．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)角相等、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．