Question

已知AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，線段EF可左右平移．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：∠AFD=∠FAC+∠ACF；
（2）將線段EF向左平移，當(dāng)點(diǎn)E在A左側(cè)，點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)（如圖2），作EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，兩條角平分線交于點(diǎn)P．若∠AEF=m°，∠ACD=n°．求∠EPC的度數(shù)（用含m、n的代數(shù)式表示）
（3）將線段EF向右平移，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)，∠AEF和∠ACD的平分線交于點(diǎn)Q時(shí)（如圖3），直接寫出∠EAC、∠EFC與∠EQC的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì),列代數(shù)式,平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠AEP、∠PCF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EPG、∠CPG的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠ACF、∠AEF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠QCF、∠AEQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠CQG、∠EQG，根據(jù)角的和差，可得答案．

解答：（1）證明：如圖1，
，
∵∠AFD是△AFC的外角，
∴∠AFD=∠FAC+∠ACF（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）；
（2）解：如圖2，
，
作GP∥AB∥CD，
由EP平分∠AEF，CP平分∠ACD，兩條角平分線交于點(diǎn)P，
得∠AEP=

1

2

∠AEF=

1

2

m°，∠PCF=

1

2

∠ACF=

1

2

n°．
由GP∥AB∥CD，得
∠EPG=∠AEP=

1

2

m°，∠CPG=∠PCF=

1

2

n°．
由角的和差，得
∠EPC=∠EPG+∠CPG=

1

2

（m+n）°；
（3）解：如圖3，

作GQ∥AB∥CD，
由AB∥CD，得∠ACF=180°-∠EAC，∠AEF=180°-∠EFC．
由角平分線的性質(zhì)，得
∠QCF=

1

2

∠ACF=90°-

1

2

∠EAC，∠AEQ=

1

2

∠AEF=90°-

1

2

∠EFC．
由GQ∥AB∥CD，得
∠CQG=∠QCF=90°-

1

2

∠EAC，∠EQG=180°-∠AEQ=90°+

1

2

∠EFC．
由角的和差，得
∠EQC=∠CQG+∠EQG=90°-

1

2

∠EAC+90°+

1

2

∠EFC
即∠EQC+

1

2

∠EAC-

1

2

∠EFC=180°．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，（1）利用了三角形的外角的性質(zhì)；（2）利用了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)；（3）利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．