【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一點,使得AE⊥DE;
(1)求證:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的長;
(3)當(dāng)△AED∽△ECD時,請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系:AD=AB+CD;理由見解析.
【解析】
(1)先根據(jù)同角的余角相等可得:∠DEC=∠A,利用兩角相等證明三角形相似;
(2)先根據(jù)勾股定理得:BE=3,根據(jù)△ABE∽△ECD,列比例式可得結(jié)論;
(3)先根據(jù)△AED∽△ECD,證明∠EAD=∠DEC,可得∠ADE=∠EDC,證明Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),則DF=DC,同理可得:AF=AB,相加可得結(jié)論.
(1)證明:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,∠BAE+∠AEB=90°,
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEC=∠BAE,
∴△ABE∽△ECD;
(2)解:Rt△ABE中,∵AB=4,AE=5,
∴BE=3,
∵BC=5,
∴EC=5﹣3=2,
由(1)得:△ABE∽△ECD,
∴ ,
∴,
∴CD=;
(3)解:線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系:AD=AB+CD;
理由是:過E作EF⊥AD于F,
∵△AED∽△ECD,
∴∠EAD=∠DEC,
∵∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠EDC,
∵DC⊥BC,
∴EF=EC,
∵DE=DE,
∴Rt△DFE≌Rt△DCE(HL),
∴DF=DC,
同理可得:△ABE≌△AFD,
∴AF=AB,
∴AD=AF+DF=AB+CD.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的到來,傳統(tǒng)的教學(xué)模式也在悄然發(fā)生著改變.某出國培訓(xùn)機構(gòu)緊跟潮流,對培訓(xùn)課程采取了線上線下同步銷售的策路,為了讓客戶更理性的選擇,該機構(gòu)推出了甲、乙兩個課程體驗包:甲課程體驗包價值660元含3節(jié)線上課程和2節(jié)線下課;乙課程體驗包價值990元含2節(jié)線上課程和5節(jié)線下課程.
(1)分別求出該機構(gòu)每節(jié)課的線上價格和線下價格;
(2)該機構(gòu)其中一個銷售團隊上個月的銷售業(yè)績?yōu)椋壕上課程成交900節(jié),線下課成交1000節(jié).為回饋客戶,本月該機構(gòu)針對線上、線下每節(jié)課程的價格均作出了調(diào)整:每節(jié)課線上價格比上個月的價格下調(diào)a%,線下價格比上個月的價格下調(diào)a%,到本月底統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該銷售團隊線上成交的課程數(shù)比上個月增加了a%,線下成交的課程數(shù)上升到1080節(jié),最終團隊的月銷售總額線上比線下少了54000元,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在8×8的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,已知△ABC的三個頂點在格點上.
(1)畫出△ABC關(guān)于直線l對稱的△A1B1C1;
(2)在直線l上找一點P,使PA+PB的長最短;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)△ABC 直角三角形(填“是”或“不是”),并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】操作發(fā)現(xiàn):如圖1,D是等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊△DCF,連接AF,易證AF=BD(不需要證明);
類比猜想:①如圖2,當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖1相同,猜想AF與BD在圖1中的結(jié)論是否仍然成立。
深入探究:②如圖3,當(dāng)動點D在等邊△ABC邊BA上的一動點(點D與點B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′,連接AF,BF′你能發(fā)現(xiàn)AF,BF′與AB有何數(shù)量關(guān)系,并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
③如圖4,當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時,其它作法與圖3相同,猜想AF,BF′與AB在上題②中的結(jié)論是否仍然成立,若不成立,請給出你的結(jié)論并證明。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在八年級(1)班學(xué)生中開展對于“我國國家公祭日”知曉情況的問卷調(diào)調(diào)查. 問卷調(diào)查的結(jié)果分為A、B、C、D四類,其中A類表示“非常了解”;B類表示“比較了解”;C類表示“基本了解”;D類表示“不太了解”;班長將本班同學(xué)的調(diào)查結(jié)果繪制成下列兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)上述信息解答下列問題:
(1)該班參與問卷調(diào)查的人數(shù)有 人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)求C類人數(shù)占總調(diào)查人數(shù)的百分比;
(4)求扇形統(tǒng)計圖中A類所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點A、C的坐標(biāo)分別為A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)在x軸上找一點D,連接BD使得△ABD與△ABC相似(不包括全等),并求點D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=120,
(1)利用直尺、圓規(guī),求作AB的垂直平分線DE,交BC于點D、交AB于點E:(不要求寫出作法,但要求保留作圖痕跡)
(2)若BD=3,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE與AC交于點M,EF與AC交于點N,動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,伴隨點P的運動,矩形PEFG在射線AB上滑動;動點K從點P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個單位長的速度勻速運動.點P、K同時開始運動,當(dāng)點K到達點F時停止運動,點P也隨之停止.設(shè)點P、K運動的時間是t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=1時,KE=_____,EN=_____;
(2)當(dāng)t為何值時,△APM的面積與△MNE的面積相等?
(3)當(dāng)點K到達點N時,求出t的值;
(4)當(dāng)t為何值時,△PKB是直角三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC.
(1)若AB=4,AC=5,則BC邊的取值范圍是 ;
(2)點D為BC延長線上一點,過點D作DE∥AC,交BA的延長線于點E,若∠E=55°,∠ACD=125°,求∠B的度數(shù).
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