【題目】如圖,在矩形ABCD和矩形PEFG中,AB=8,BC=6,PE=2,PG=4.PE與AC交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),伴隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),矩形PEFG在射線AB上滑動(dòng);動(dòng)點(diǎn)K從點(diǎn)P出發(fā)沿折線PE﹣﹣EF以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P、K同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、K運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=1時(shí),KE=_____,EN=_____;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APM的面積與△MNE的面積相等?
(3)當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時(shí),求出t的值;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△PKB是直角三角形?
【答案】 (1)1, ;(2) ;(3) ; (4)當(dāng)0<t≤2或t=3或t=4或5時(shí),△PKB是直角三角形.
【解析】試題分析:
(1)利用△APM∽△ABC求出PM,然后求出ME,再利用△APM∽△NEM,就可以求出EN.
(2)△APM的面積與△MNE的面積相等,且兩個(gè)三角形相似,所以,只有兩三角形全等面積就相等,表示出三角形的面積,從而求出t值.
(3)(1)已經(jīng)求出EN的值,根據(jù)EN+PE=AP的值,解出t即可.
(4)是直角三角形有兩種情況,K在PE邊上任意一點(diǎn)時(shí)△PKB是直角三角形,在FE上的一點(diǎn)時(shí)也是直角三角形.利用三角形相似求出t的值.
試題解析:
(1)當(dāng)t=1時(shí),根據(jù)題意得,AP=1,PK=1,
∵PE=2,
∴KE=2﹣1=1,
∵四邊形ABCD和PEFG都是矩形,
∴△APM∽△ABC,△APM∽△NEM,
∴=, =,
∴MP=,ME=,
∴NE=;
故答案為:1;;
(2)由(1)并結(jié)合題意可得,
AP=t,PM=t,ME=2﹣t,NE=﹣t,
∴t×t=(2﹣t)×(﹣t),
解得,t=;
(3)當(dāng)點(diǎn)K到達(dá)點(diǎn)N時(shí),則PE+NE=AP,
由(2)得,﹣t+2=t,
解得,t=;
(4)①當(dāng)K在PE邊上任意一點(diǎn)時(shí)△PKB是直角三角形,
即,0<t≤2;
②當(dāng)點(diǎn)k在EF上時(shí),
則KE=t﹣2,BP=8﹣t,
∵△BPK∽△PKE,
∴PK2=BP×KE,PK2=PE2+KE2,
∴4+(t﹣2)2=(8﹣t)(t﹣2),
解得t=3,t=4;
③當(dāng)t=5時(shí),點(diǎn)K在BC邊上,∠KBP=90°.
綜上,當(dāng)0<t≤2或t=3或t=4或5時(shí),△PKB是直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了創(chuàng)建書(shū)香校園,去年又購(gòu)進(jìn)了一批圖書(shū).經(jīng)了解,科普書(shū)的單價(jià)比文學(xué)書(shū)的單價(jià)多4元,用1200元購(gòu)進(jìn)的科普書(shū)與用800元購(gòu)進(jìn)的文學(xué)書(shū)本數(shù)相等.
(1)求去年購(gòu)進(jìn)的文學(xué)羽和科普書(shū)的單價(jià)各是多少元?
(2)若今年文學(xué)書(shū)和科普書(shū)的單價(jià)和去年相比保持不變,該校打算用1000元再購(gòu)進(jìn)一批文學(xué)書(shū)和科普書(shū),問(wèn)購(gòu)進(jìn)文學(xué)書(shū)55本后至多還能購(gòu)進(jìn)多少本科普書(shū)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一點(diǎn),使得AE⊥DE;
(1)求證:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的長(zhǎng);
(3)當(dāng)△AED∽△ECD時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分別是AC,AB邊上的高,BD, CE交于O,則圖中共有相似三角形( 。
A. 5對(duì) B. 6對(duì) C. 7對(duì) D. 8對(duì)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng),且保持AD=CE.連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,下列結(jié)論:①△DFE是等腰直角三角形;②DE長(zhǎng)度的最小值為4;③四邊形CDFE的面積保持不變;④△CDE面積的最大值為8.其中正確的結(jié)論是( 。
A.①②③B.①③C.①③④D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E為AB邊的中點(diǎn),以BE為邊作等邊△BDE,連接AD,CD.
(1)求證:△ADE≌△CDB;
(2)若BC=1,在AC邊上找一點(diǎn)H,使得BH+EH最小,并求出這個(gè)最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀與思考:利用多項(xiàng)式的乘法法則,可以得到,反過(guò)來(lái),則有利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式。例如:將式子分解因式.這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng),一次項(xiàng)系數(shù),所以.
解:.
上述分解因式的過(guò)程,也可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次項(xiàng)系數(shù),分別寫(xiě)在十字交叉線的左上角和左下角;再分解常數(shù)項(xiàng),分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項(xiàng)系數(shù)(如圖).
請(qǐng)仿照上面的方法,解答下列問(wèn)題:
(1)分解因式:;
(2)分解因式:;
(3)若可分解為兩個(gè)一次因式的積,寫(xiě)出整數(shù)P的所有可能值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一扇窗戶(hù)垂直打開(kāi),即OM⊥OP,AC是長(zhǎng)度不變的滑動(dòng)支架,其中一端固定在窗戶(hù)的點(diǎn)A處,另一端在OP上滑動(dòng),將窗戶(hù)OM按圖示方向內(nèi)旋轉(zhuǎn)35°到達(dá)ON位置,此時(shí)點(diǎn)A,C的對(duì)應(yīng)位置分別是點(diǎn)B,D,測(cè)量出∠ODB=25°,點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離為30cm,求滑動(dòng)支架BD的長(zhǎng).
(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】九年級(jí)三班學(xué)生蘇琪為幫助同桌萬(wàn)宇鞏固“平面直角坐標(biāo)系四個(gè)象限內(nèi)及坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)”這一基礎(chǔ)知識(shí),在三張完全相同且不透明的卡片正面分別寫(xiě)上了﹣3,0,2三個(gè)數(shù)字,背面向上洗勻后隨機(jī)抽取一張,將卡片上的數(shù)字記為a,再?gòu)氖O碌膬蓮堉须S機(jī)取出一張,將卡片上的數(shù)字記為b,然后叫萬(wàn)宇在平面直角坐標(biāo)系中找出點(diǎn)M(a,b)的位置.
(1)請(qǐng)你用樹(shù)狀圖幫萬(wàn)宇同學(xué)進(jìn)行分析,并寫(xiě)出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo);
(2)求點(diǎn)M在第二象限的概率;
(3)張老師在萬(wàn)宇同學(xué)所畫(huà)的平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)了一個(gè)半徑為3的⊙O,過(guò)點(diǎn)M能作多少條⊙O的切線?請(qǐng)直接寫(xiě)出答案.
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