Question

如圖（1），Rt△ABC和Rt△EFD中，AC與DE重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90º，∠ ACB=∠EDF=30º，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止。現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2)

（1）問：始終與△AGC相似的三角形是　   　；

（2）設(shè)CG=x，BG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，△HGA是等腰三角形。

Answer 1

（1）△HGA。

（2）∵∠BAC =90º，∠ ACB =30º，AB =1，∴，即。∴。

                 又∵BC=2，∴。

                 ∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為。

            （3）由（1）知，△AGC∽△HGA，若△HGA是等腰三角形，則AGC也是等腰三角形。所以分兩種情況：

①當(dāng)CG=AG時(shí)，AG是Rt△ABC斜邊上的中線， 此時(shí)，x=CG=BC=1。             

②當(dāng)CG= CA時(shí), x=CG=。

                 ∴當(dāng)x=1或時(shí)，△AGH是等腰三角形。

【考點(diǎn)】面動旋轉(zhuǎn)問題，含30度角直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，分類思想的應(yīng)用。

           （3）考慮CG=AG和CG= CA兩種情況分別求解即可。