Question

18． 如圖，拋物線y=x²+2x+m與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．
（1）若∠ACB=90°，求m．
（2）在第（1）問的條件下，設拋物線的頂點為D，求頂點D的坐標，并判斷△ABD是否為等邊三角形（不要求寫過程）．
（3）在第（1）問的條件下，設直線y=n與拋物線相交于點M、N，若△MND為等邊三角形，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得m²=2a+a²，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得方程②，根據(jù)解方程，可得m的值；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得AB的長，根據(jù)勾股定理，可得BD的長，根據(jù)等邊三角形的定義，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得N、M的坐標，根據(jù)平行于x軸直線上兩點間的距離是較大的橫坐標減較小的橫坐標，可得MN的長，根據(jù)勾股定理，可得DN的長，根據(jù)等邊三角形的定義，可得關于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1：
，
連接AC，BC，設B（a，0），A（-2-a，0）．
當x=0時，y=m，即C（0，m）．
由∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠CAO=90°，得
∠OCB=∠OAC．
又∠BOC=∠COA，
△BOC∽△COA，
$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{a}{|m|}$=$\frac{|m|}{|-2-a|}$，化簡，得m²=2a+a²①．
將B點坐標代入函數(shù)解析式，得
a²+2a+m=0②．
把①代入②得
m²+m=0．
解得m=-1，m=0（不符合題意，舍），
（2）△ABD是不是等邊三角形，理由如下：
y=x²+2x-1=（x+1）²-2，即D（-1，-2）．
當y=0時，x²+2x-1=0，解得x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$，
即A（-1-$\sqrt{2}$，0），B（-1+$\sqrt{2}$，0）．
AB=-1+$\sqrt{2}$-（-1-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理，得
BD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
BD=AD≠AB，
△ABD是不是等邊三角形；
（3）如圖2：

當y=n時，x²+2x-1=n，
解得x₁=-1+$\sqrt{2+n}$，x₂=-1-$\sqrt{2+n}$，
M（-1+$\sqrt{2+n}$，n），N（-1-$\sqrt{2+n}$，n）．
MN=2$\sqrt{2+n}$．
DN=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
由△MND為等邊三角形，得
MN=DN=DM，即2$\sqrt{2+n}$=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
化簡，得
（n+2）²-3（n+2）=0．
解得n=-2（不符合題意，舍），n=1
△MND為等邊三角形，n的值為1．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用相似三角形的性質的出關于m，b的方程，圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出關于m，b的方程是解題關鍵；利用勾股定理得出BD的長是解題關鍵；利用等邊三角形的定義的出關于n的方程是解題關鍵．