Question

18． 如圖，拋物線y=x²+2x+m與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）若∠ACB=90°，求m．
（2）在第（1）問(wèn)的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，并判斷△ABD是否為等邊三角形（不要求寫(xiě)過(guò)程）．
（3）在第（1）問(wèn)的條件下，設(shè)直線y=n與拋物線相交于點(diǎn)M、N，若△MND為等邊三角形，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得m²=2a+a²，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得方程②，根據(jù)解方程，可得m的值；
（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的定義，可得答案；
（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得N、M的坐標(biāo)，根據(jù)平行于x軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐標(biāo)減較小的橫坐標(biāo)，可得MN的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得DN的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的定義，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1：
，
連接AC，BC，設(shè)B（a，0），A（-2-a，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=m，即C（0，m）．
由∠OCB+∠OCA=90°，∠OCA+∠CAO=90°，得
∠OCB=∠OAC．
又∠BOC=∠COA，
△BOC∽△COA，
$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OC}{OA}$，即$\frac{a}{|m|}$=$\frac{|m|}{|-2-a|}$，化簡(jiǎn)，得m²=2a+a²①．
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a²+2a+m=0②．
把①代入②得
m²+m=0．
解得m=-1，m=0（不符合題意，舍），
（2）△ABD是不是等邊三角形，理由如下：
y=x²+2x-1=（x+1）²-2，即D（-1，-2）．
當(dāng)y=0時(shí)，x²+2x-1=0，解得x₁=-1+$\sqrt{2}$，x₂=-1-$\sqrt{2}$，
即A（-1-$\sqrt{2}$，0），B（-1+$\sqrt{2}$，0）．
AB=-1+$\sqrt{2}$-（-1-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
由勾股定理，得
BD=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
BD=AD≠AB，
△ABD是不是等邊三角形；
（3）如圖2：

當(dāng)y=n時(shí)，x²+2x-1=n，
解得x₁=-1+$\sqrt{2+n}$，x₂=-1-$\sqrt{2+n}$，
M（-1+$\sqrt{2+n}$，n），N（-1-$\sqrt{2+n}$，n）．
MN=2$\sqrt{2+n}$．
DN=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
由△MND為等邊三角形，得
MN=DN=DM，即2$\sqrt{2+n}$=$\sqrt{（\sqrt{2+n}）^{2}+（n+2）^{2}}$，
化簡(jiǎn)，得
（n+2）²-3（n+2）=0．
解得n=-2（不符合題意，舍），n=1
△MND為等邊三角形，n的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用相似三角形的性質(zhì)的出關(guān)于m，b的方程，圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式得出關(guān)于m，b的方程是解題關(guān)鍵；利用勾股定理得出BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵；利用等邊三角形的定義的出關(guān)于n的方程是解題關(guān)鍵．