Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作⊙O的切線，與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．

（1）求證：AF是⊙O的切線；

（2）若BE＝5，BF＝12，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角得到∠EAB＝∠EBA，結(jié)合⊙O的切線得出OA⊥AF，從而得出AF是⊙O的切線；

（2）先根據(jù)勾股定理求得EF的長(zhǎng)，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出EB＝EA＝5，即可求得AF的長(zhǎng)，然后根據(jù)切割線定理求得FC，進(jìn)而得出BC的長(zhǎng)，根據(jù)E是BD的中點(diǎn)，得出BD的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理即可求得CD的長(zhǎng)．

解：（1）連接AB，OA，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∵DB是⊙O的切線，

∴DB⊥BC，

∴∠DBO＝90°，

在RT△ABD中，E是斜邊BD的中線，

∴AE＝DE＝BE，

∴∠EAB＝∠EBA，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠EAB+∠OAB＝∠EBA+∠OBA

∴∠EAO＝∠DBO＝90°，

∴OA⊥AF，

∴AF是⊙O的切線；

（2）∵在RT△BEF中，BE＝5，BF＝12，

∴EF＝＝13，

∵FA、DB是⊙O的切線，

∴EA＝EB＝5，

∴AF＝EF+EA＝13+5＝18，

∵AF2＝FBFC，

∴FC＝

∴BC＝FC﹣FB＝27﹣12＝15，

∵E是BD的中點(diǎn)，

∴BD＝2BE＝10，

在RT△DBC中，．