Question

17．以Rt△ABC的兩條直角邊AB、BC為邊，在三角形ABC的外部作等邊三角形ABE和等邊三角形BCF，EA和FC的延長線相交于點M，則點B一定是三角形EMF的（　�。�

• A． 垂心
• B． 重心
• C． 內(nèi)心
• D． 外心

Answer 1

分析 先利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)得出∠CBE=∠FBE=150°，從而得出△CBE≌△FBE，再用全等三角形的性質(zhì)得出CE=FE，∠FEB=∠CEB，進而得出BE⊥CF于G，即：EG是△MEF的邊FM上的高，同理得出FH是△MEF的邊EM上的高，即可．

解答 解：如圖，

連接CE，AF，延長EB交MF于G，延長FB交ME于H，
∵以Rt△ABC的兩條直角邊AB，BC為邊作等邊△ABE和等邊△BCF，
∴∠CBE=90°+60°=150°，∠FBE=360°-90°-60°-60°=150°，
在△CBE與△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=BF}\\{∠CBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△FBE（SAS）；
∴CE=FE，∠FEB=∠CEB，
∴BE⊥CF于G，
∴EG是△MEF的邊FM上的高，
同理：FH是△MEF的邊EM上的高，
∴點B是△MEF的三邊的高，
即：點B是△MEF的垂心．
故選A．

點評 此題是三角形的五心，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形的高線，解本題的關(guān)鍵是△CBE≌△FBE（SAS），難點是作出輔助線．