Question

如圖在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，O為AC的中點(diǎn)，OE⊥OB交BC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)=2時(shí)，求的值；
（2）當(dāng)=1時(shí)，求的值．

Answer 1

解：（1）由=2，得到AC=2AB，
又∵O為AC的中點(diǎn)，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∵，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
則=1；

（2）過A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵=1，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△ABF和△CGA中，
∵
∴△ABF≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∵CO=AC，OE∥AG，
∴CE=CG=AF，
∴=2．
分析：（1）由=2，得到AC=2AB，再由O為AC的中點(diǎn)，得到AC=2OC，可得出AB=OC，由∠BAC=90°，AD⊥BC，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)得出一對(duì)角相等，利用AAS得出△ABF≌△COE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=CE，即可求出所求式子的比值；
（2）由=1，得到AB=AC，過A作AG平行于OE，交BC于點(diǎn)G，由兩直線平行得到一對(duì)同位角∠OEC=∠AGC，再由（1）得出∠AFB=∠OEC，等量代換得到一對(duì)角相等，由AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，得到三角形ABC為等腰直角三角形，AD為頂角平分線，可得出∠BAD=∠C=45°，利用AAS得出△ABF≌△CGA，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=CG，由O為AC中點(diǎn)且OE與AG平行，得到E為CG的中點(diǎn)，即CE為CG的一半，等量代換得到CE為AF的一半，即可求出所求式子的比．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．