Question

12．如圖，已知△ABC與△DEF分別是等邊三角形和等腰直角三角形，AC與DF交于點G，AD與FC分別是△ABC和△DEF的高，線段BC，DE在同一條直線上，則下列說法不正確的是（　�。�

• A． △AGD∽△CGF
• B． △AGD∽△DGC
• C． $\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=3
• D． $\frac{AG}{CG}$=$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先利用AD∥FC可對A選項進行判斷；再根據(jù)等邊三角形和等腰直角三角形的性質得到∠DAC=30°，∠ACD=60°，∠FDC=45°，則∠AGD=105°，∠DGC=75°，則△AGD與△DGC不相似，于是可對B選項進行判斷；設CD=a，則AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$a，CF=CD=a，利用△AGD∽△CGF，根據(jù)相似三角形的性質可對C、D選項進行判斷．

解答 解：∵AD與FC分別是△ABC和△DEF的高，
∴AD⊥BC，F(xiàn)C⊥DE，
∴AD∥FC，
∴△AGD∽△CGF，所以A選項的說法正確；
∵△ABC與△DEF分別是等邊三角形和等腰直角三角形，
∴∠DAC=30°，∠ACD=60°，∠FDC=45°，
∴∠ADG=45°，∠AGD=105°，
而∠DGC=75°，
∴△AGD與△DGC不相似，所以B選項的說法錯誤；
設CD=a，則AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$a，CF=CD=a，
∵△AGD∽△CGF，
∴$\frac{{S}_{△AGD}}{{S}_{△CGF}}$=（$\frac{AD}{CF}$）²=（$\frac{\sqrt{3}a}{a}$）²=3，所以C選項的說法正確；
$\frac{AG}{CG}$=$\frac{AD}{CF}$=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，所以D選項的說法正確．
故選B．

點評 本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．也考查了相似三角形的性質、等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質．