【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,⊙O是△ABC外接圓,點(diǎn)D是圓上一點(diǎn),點(diǎn)D、B分別在AC兩側(cè),且BD=BC,連接AD、BD、OD、CD,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)P,使∠APB=∠DCB.
(1)求證:AP為⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為1,當(dāng)△OED是直角三角形時(shí),求△ABC的面積;
(3)若△BOE、△DOE、△AED的面積分別為a、b、c,試探究a、b、c之間的等量關(guān)系式,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)S△ABC=或;(3)b2=ac.
【解析】試題分析:(1)欲證明PA是切線,只要證明PA⊥OA即可;
(2)分兩種情形分別求解即可;
(3)只要證明AD∥OB,可得△AED∽△OEB,推出,再推出可得=()2,b2=ac.
試題解析:
(1)證明:∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD,
∵∠P=∠BCD,∠BAC=∠BDC,
∴∠P=∠BAC,
∵AC是直徑,
∴∠ABC=∠ABP=90°,
∴∠P+∠BAP=90°,
∴∠BAP+∠BAC=90°,
∴∠OAP=90°,
∴OA⊥PA,
∴PA是⊙O的切線.
(2)解:①當(dāng)∠OED=90°時(shí),CB=CD=BD,△ABC是等邊三角形,可得∠ACB=30°,
∵AC=2,
∴AB=1,BC=,
∴S△ABC=.
②當(dāng)∠DOE=90°時(shí),易知∠AOB=45°,△ABC的AC邊上的高=,
∴S△ABC=.
(3)∵BD=BC,OD=OC,BO=BO,
∴△BOD≌△BOC,
∴∠OBD=∠OBC,
∵OB=OD=CO,
∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB,
∵∠ADB=∠OCB,
∴∠ADB=∠OBD,
∴AD∥OB,
∴△AED∽△OEB,
∴ ,
∵,
∴=()2,
∴b2=ac.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,解決某山區(qū)老百姓出行難的問(wèn)題,當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路.其中一段長(zhǎng)為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工.甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后,乙工程隊(duì)加入,兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天,這3天共掘進(jìn)26米.已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2米,按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程,甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,線段CD在線段AB上,且CD=2,若線段AB的長(zhǎng)度是一個(gè)正整數(shù),則圖中以A,B,C,D這四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和可能是( 。
A. 29
B. 28
C. 30
D. 31
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小方家住戶型呈長(zhǎng)方形,平面圖如下(單位:米),現(xiàn)準(zhǔn)備鋪設(shè)地面,三間臥室鋪設(shè)木地板,其它區(qū)城鋪設(shè)地磚.
(1)求a的值.
(2)鋪設(shè)地面需要木地板和地磚各多少平方米(用含的代數(shù)式表示)?
(3)按市場(chǎng)價(jià)格,木地板單價(jià)為300元/平方米,地磚單價(jià)為100元/平方米,裝修公司有兩種活動(dòng)方案,如表:
活動(dòng)方案 | 木地板價(jià)格 | 地磚價(jià)格 | 總安裝費(fèi) |
A | 8折 | 8.5折 | 2000元 |
B | 9折 | 8.5折 | 免收 |
已知臥室2的面積是21平方米,則小方家應(yīng)選擇哪種活動(dòng),使鋪設(shè)地面的總費(fèi)用(包括材料費(fèi)及安裝費(fèi))更低?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=7,AC=6,∠A=45°,點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上,將△BDE沿著DE所在直線翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,PD、PE分別交邊AC于點(diǎn)M、N,如果AD=2,PD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,那么MN的長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】目前節(jié)能燈在城市已基本普及,某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種節(jié)能燈共1200只,這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表:
| 進(jìn)價(jià)元只 | 售價(jià)元只 |
甲型 | 25 | 30 |
乙型 | 45 | 60 |
如何進(jìn)貨,進(jìn)貨款恰好為46000元?
為確保乙型節(jié)能燈順利暢銷,在的條件下,商家決定對(duì)乙型節(jié)能燈進(jìn)行打折出售,且全部售完后,乙型節(jié)能燈的利潤(rùn)率為,請(qǐng)問(wèn)乙型節(jié)能燈需打幾折?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y= x3與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點(diǎn)A(4,n),與x軸相交于點(diǎn)B.
(1)填空:n的值為___,k的值為___;
(2)以AB為邊作菱形ABCD,使點(diǎn)C在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第一象限,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)觀察反比例函數(shù)y=的圖象,當(dāng)y2時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1)、B(4,2)、C(3,4).
(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;
(2)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A2B2C2三個(gè)頂點(diǎn)A2、B2、C2的坐標(biāo);
(3)在x軸上求作一點(diǎn)P,使△PAB的周長(zhǎng)最小,請(qǐng)畫(huà)出△PAB,并直接寫(xiě)出P的坐標(biāo).
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