【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線a≠0)與y軸交與點C0,3),與x軸交于A、B兩點,點B坐標為(4,0),拋物線的對稱軸方程為x=1

1)求拋物線的解析式;

2)點MA點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點NB點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,設(shè)△MBN的面積為S,點M運動時間為t,試求St的函數(shù)關(guān)系,并求S的最大值;

3)在點M運動過程中,是否存在某一時刻t,使△MBN為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2S=,運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是;(3t=t=

【解析】

1)把點AB、C的坐標分別代入拋物線解析式,列出關(guān)于系數(shù)a、bc的解析式,通過解方程組求得它們的值;

2)設(shè)運動時間為t秒.利用三角形的面積公式列出SMBNt的函數(shù)關(guān)系式.利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答;

3)根據(jù)余弦函數(shù),可得關(guān)于t的方程,解方程,可得答案.

1B坐標為(4,0),拋物線的對稱軸方程為x=1,

∴A(﹣20),把點A(﹣2,0)、B40)、點C03),

分別代入a≠0),得:,解得:,所以該拋物線的解析式為:;

2)設(shè)運動時間為t秒,則AM=3tBN=t,∴MB=63t

由題意得,點C的坐標為(0,3).在Rt△BOC中,BC==5

如圖1,過點NNH⊥AB于點H

∴NH∥CO,

∴△BHN∽△BOC,

,即

∴HN=t,

∴SMBN=MBHN=63tt

S=,

當(dāng)△PBQ存在時,0t2

當(dāng)t=1時,SPBQ最大=

答:運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是;

3)如圖2,在Rt△OBC中,cos∠B=

設(shè)運動時間為t秒,則AM=3t,BN=t,∴MB=63t

當(dāng)∠MNB=90°時,cos∠B=,即,化簡,得17t=24,解得t=

當(dāng)∠BMN=90°時,cos∠B=,化簡,得19t=30,解得t=

綜上所述:t=t=時,△MBN為直角三角形.

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1)求點的坐標;

2)當(dāng)點上時.

①求證:;

②如圖2,在上取一點,使,連結(jié).求證:;

3)如圖3,當(dāng)點上運動的過程中,試探究的值是否發(fā)生變化?若不變,請直接寫出該定值;若變化,請說明理由.

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